A C. 1465. feladat (2018. február)

C. 1465. A \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög és a \(\displaystyle QRST\) négyzet csúcsain áthaladó \(\displaystyle PS\) és \(\displaystyle RT\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle PTM\) háromszög egyenlőszárú.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. 1. eset. A \(\displaystyle P\) pont a négyzeten kívül van. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. A tengelyes szimmetria miatt \(\displaystyle PQT\) és \(\displaystyle PRS\) egyenlő szárú háromszögek egybevágóak.

1. ábra

\(\displaystyle PQT∡=PRS∡=60°+90°=150°,\)

\(\displaystyle QPT∡+QTP∡=180°-150°=30°.\)

Ezért

\(\displaystyle QPT∡=QTP∡=RPS∡=15°.\)

Az \(\displaystyle RST\) egyenlő szárú derékszögű háromszögben \(\displaystyle RTS∡=45°\).

\(\displaystyle TPM∡=QPR∡-QPT∡-RPS∡=60°-15°-15°=30°,\)

\(\displaystyle PTM∡=QTS∡-QTP∡-RTS∡=90°-15°-45°=30°.\)

A \(\displaystyle PTM\) háromszögben \(\displaystyle PTM∡=TPM∡\), ezért a háromszög egyenlő szárú.

2. eset: A \(\displaystyle P\) pont a négyzet belsejében van. Használjuk a 2. ábra jelöléseit.

2. ábra

A \(\displaystyle PQR\) egyenlő oldalú háromszögben \(\displaystyle PQR∡=60°\). \(\displaystyle PQT∡=90°-PRQ∡=30°\).

A \(\displaystyle PQT\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle QTP∡=QPT∡=(180°-30°)/2=75°\).

A \(\displaystyle PST\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle PTS∡=PST∡=90°-75°=15°\).

A \(\displaystyle PTM\) háromszögben \(\displaystyle PTM∡=90°-45°-15°=30°\). Az \(\displaystyle SMT\) háromszögben \(\displaystyle SMT∡=180°-45°-15°=120°\). Ezért \(\displaystyle MPT∡=180°-120°-30°=30°\). Tehát az \(\displaystyle PTM\) háromszög egyenlő szárú.

Statisztika:

180 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	107 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai