A C. 1470. feladat (2018. március)

C. 1470. Mekkora annak a két egyforma gömbnek a sugara, amelyek középpontjai az egységkocka szomszédos lapjainak középpontjai, és érintik egymást?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a kockának a gömbök középpontjait tartalmazó, oldallapokra merőleges metszetét és használjuk az ábra jelöléseit. A gömbök a \(\displaystyle G\) pontban érintik egymást, tehát \(\displaystyle EF=EG+GF=2r\).

Az \(\displaystyle ABCD\) egységnégyzet átlója \(\displaystyle AC=\sqrt2\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög középvonala, a gömbök középpontjait összekötő szakasz hossza:

\(\displaystyle EF=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.\)

A gömbök sugarainak hossza:

\(\displaystyle r=EG=GF=\frac{\sqrt2}{4}.\)

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	83 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai