A C. 1473. feladat (2018. március)

C. 1473. Mennyi annak a \(\displaystyle 2a\) alapú számrendszerbeli \(\displaystyle abc\) számnak az alapja, amelyről tudjuk, hogy \(\displaystyle c-b=b-a=1\), és értéke megegyezik a tízes számrendszerbeli \(\displaystyle (29a^{2}+9a+9)\)-cel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle b-a=1\), ezért \(\displaystyle b=a+1\), és \(\displaystyle c-b=1\) miatt \(\displaystyle c=b+1\), amiből \(\displaystyle c=a+2\). Ezért az adott szám helyiértékek szerint:

A szám értéke:

\(\displaystyle \overline{abc}=a\cdot4a^2+(a+1)\cdot2a+a+2=4a^3+2a^2+3a+2.\)

Ez megegyezik a feladatban megadott tízes számrendszerbeli kifejezéssel:

\(\displaystyle 4a^3+2a^2+3a+2=29a^2+9a+9.\)

Rendezve egy harmadfokú egyenletet kapunk:

\(\displaystyle 4a^3-27a^2-6a-7=0.\)

Az \(\displaystyle f(x)=4x^3-27x^2-6x-7\) függvényt pl. geogebrában ábrázolva megsejthető, hogy \(\displaystyle x=7\) gyök. A másod- és elsőfokú tagokat különbségekre bontva már látható, hogy \(\displaystyle (a-7)\) valóban kiemelhető:

\(\displaystyle 4a^3-28a^2+a^2-7a+a-7=0,\)

\(\displaystyle 4a^2 (a-7)+a(a-7)+(a-7)=0,\)

\(\displaystyle (a-7)(4a^2+a+1)=0.\)

Tehát \(\displaystyle a=7\) megoldás. Mivel a \(\displaystyle 4a^2+a+1=0\) másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke (diszkriminánsa, \(\displaystyle D=1-16<0\)), így egy megoldás van. Tehát a számrendszer alapja \(\displaystyle 2a=14\).

(A szám: \(\displaystyle \overline{789}_{14}=7\cdot14^2+8\cdot14+9=1493\). Az adott tízes számrendszerbeli kifejezés helyettesítési értéke \(\displaystyle a=7\) esetén: \(\displaystyle 29a^2+9a+9=29\cdot7^2+9\cdot7+9=1493\).)

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai