Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1478. feladat (2018. április)

C. 1478. Egy \(\displaystyle 37\)-tel osztható hatjegyű szám számjegyei különbözőek, és nem szerepel közöttük a \(\displaystyle 0\). Mutassuk meg, hogy a számjegyek sorrendjét cserélgetve még legalább hat \(\displaystyle 37\)-tel osztható számot kaphatunk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Nézzük meg, hogy a hatjegyű szám helyi értékei milyen maradékot adnak 37-tel osztva:

1. 2. 3. 4. 5. 6.
\(\displaystyle 10^5\)\(\displaystyle 10^4\) \(\displaystyle 10^3\) \(\displaystyle 10^2\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 26\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 26\) \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 1\)

Mivel a számjegyek között nincs \(\displaystyle 0\), ezért az első és a negyedik, a második és az ötödik valamint a harmadik és a hatodik számjegy felcserélhető anélkül, hogy az osztási maradék megváltozna. Tehát a számjegyek cseréjével \(\displaystyle 2^3=8\) különböző számot tudunk létrehozni, melyeknek azonos a maradéka. Ez azt jelenti, hogy ha van egy hatjegyű, különböző számjegyekből álló \(\displaystyle 37\)-tel osztható számunk, ahol a számjegyek közt nincs nulla, akkor a fenti számjegyek cseréjével még hét másik számot kapunk, melyek szintén oszthatók \(\displaystyle 37\)-tel.


Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:6 versenyző.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai