 |
A C. 1638. feladat (2020. december) |
C. 1638. Melyek azok a nem szabályos háromszögek, amelyek magasságpontja, köré írt körének középpontja, beírt körének középpontja és két csúcsa egy körre esik?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsa, valamint körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontja, beírt körének \(\displaystyle K\) középpontja és \(\displaystyle M\) magasságpontja illeszkedik egy körre.
Ilyen feltételek mellett a \(\displaystyle BCA\sphericalangle=\gamma\) nem lehet derékszög, mert derékszög esetén az \(\displaystyle M\) magasságpont azonos a \(\displaystyle C\) csúccsal, és így \(\displaystyle A, B, M\) az \(\displaystyle AB\) szakasz Thalész-körére illeszkedik; de ezen a körön biztosan nincs rajta az \(\displaystyle O\) pont, hiszen az az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja, és nincs rajta a \(\displaystyle K\) pont sem, mert az bármely háromszög esetén belső pont.
Hasonlóképpen nem lehet \(\displaystyle BCA\sphericalangle=\gamma\) tompaszög sem. Ekkor ugyanis az \(\displaystyle AB\) egyenese elválasztja egymástól az \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle M\) pontokat, és így, ha az \(\displaystyle A, O, B, M\) pontok egy egy körön is lennének, ezen a körön biztosan nem lehet rajta a \(\displaystyle K\) pont, hiszen az belső pontja az \(\displaystyle ABC\) háromszögnek, és így az \(\displaystyle AOBM\) négyszögnek is.
Eszerint \(\displaystyle \gamma\) csak hegyesszög lehet. Eddigi megállapításaink azonban nem azt jelentik, hogy az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) szögek valamelyike ne lehetne derékszög, vagy tompaszög.
Először azt az esetet vizsgáljuk, hogy az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) szögek is hegyesszögek.
Tekintsük az erre az esetre vonatkozó 1. ábrát.
1. ábra
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt \(\displaystyle k\) körben \(\displaystyle BCA\sphericalangle=\gamma\) kerületi szög, az ennek megfelelő körívhez tartozik a \(\displaystyle BOA\sphericalangle\) középponti szög, ezért \(\displaystyle BOA\sphericalangle=2\gamma\).
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű, tehát az \(\displaystyle O, K, M\) pontok a háromszög belső pontjai. Ezek a pontok akkor és csak akkor lehetnek az \(\displaystyle A, B\) pontokkal együtt egy körön, ha az \(\displaystyle O, K, M\) pontokból az \(\displaystyle AB\) szakasz egyenlő nagyságú szög alatt látszik.
Tudjuk még, hogy \(\displaystyle BKA\sphericalangle=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}\), és mivel \(\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma\), egyszerű számolással adódik, hogy
\(\displaystyle BKA\sphericalangle=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\).
A \(\displaystyle BOA\sphericalangle=2\gamma\) alapján \(\displaystyle 2\gamma=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\), ahonnan azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\), vagyis az \(\displaystyle AB\) szakasznak a \(\displaystyle K, O\) pontokból mért látószöge \(\displaystyle 120^{\circ}\). Az \(\displaystyle M\) pontból ugyanekkora szögben látszik az \(\displaystyle AB\) szakasz, mert \(\displaystyle DCFM\) húrnégyszög, amelyben \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\) miatt \(\displaystyle FMD\sphericalangle=120^{\circ}\) és így \(\displaystyle BMA\sphericalangle=120^{\circ}\) is igaz, vagyis az \(\displaystyle A, B, O, K, M\) pontok valóban egy körön vannak.
Mivel \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\), és \(\displaystyle ABC\) a feltétel szerint nem szabályos háromszög, ezért ebben az esetben \(\displaystyle \alpha, \beta\) hegyesszögek, de \(\displaystyle \alpha\neq{60^{\circ}}\) és \(\displaystyle \beta\neq{60^{\circ}}\).
Meg kell még vizsgálnunk azokat az eseteket, amikor az \(\displaystyle \alpha, \beta\) szögek valamelyike derékszög, vagy tompaszög. Nyilván elegendő az egyik szög vizsgálatára szorítkoznunk.
Legyen először \(\displaystyle \alpha=90^{\circ}\). Ebben az esetben az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle M\) pont azonos, az \(\displaystyle O\) pont pedig a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja (2. ábra).
2. ábra
Most is érvényes, hogy az \(\displaystyle O, K\) pontok akkor és csak akkor illeszkednek az \(\displaystyle A, B\) pontokon átmenő \(\displaystyle k'\) körre, ha \(\displaystyle BOA\sphericalangle=BKA\sphericalangle\), így, mivel \(\displaystyle BOA\sphericalangle=2\gamma\) és \(\displaystyle BKA\sphericalangle=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\) ebben az esetben is igaz, ezért ismét azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\).
Eszerint a \(\displaystyle B, O, K, A=M\) pontok az \(\displaystyle AB\) szakasz fölé írt \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os látószögköríven vannak.
Végül azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor \(\displaystyle \alpha\) tompaszög, ehhez tekintsük a 3. ábrát.
3. ábra
Mint az előző két esetben, az \(\displaystyle O, C\) pontok az \(\displaystyle AB\) egyenes által meghatározott azonos félsíkba esnek, hiszen \(\displaystyle \gamma\) hegyesszög, de ezúttal az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle O, C\) pontokkal átellenes félsíkba kerül, továbbá az \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle M\) pontok az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső pontjai.
Ugyanakkor ebben az esetben is \(\displaystyle BOA\sphericalangle=2\gamma\) és \(\displaystyle BKA\sphericalangle=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\), ezért most is \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\) adódik.
A \(\displaystyle CAD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle CAD\sphericalangle=90^{\circ}-\gamma\), a csúcsszögek egyenlősége miatt \(\displaystyle FAM\sphericalangle=90^{\circ}-\gamma\) is igaz, ezért \(\displaystyle AMF\sphericalangle=AMB\sphericalangle=\gamma\).
Mindezekből az következik, hogy az \(\displaystyle AB\) szakasz fölé rajzolt \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os látószögköríven vannak a \(\displaystyle O, K\) pontok, és ennek kiegészítő körívén helyezkedik el az \(\displaystyle M\) pont, vagyis valóban mind az öt pont a \(\displaystyle k'\) körre esik.
A feladat megoldása azt mutatja, hogy ha az \(\displaystyle A, B, O, K, M\) pontok egy körön vannak, akkor \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\), és ez megfordítva is fennáll, azaz, ha \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\), akkor az \(\displaystyle A, B, O, K, M\) pontok egy körre illeszkednek.
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Besze Zsolt, Böröczky András Bálint, Cynolter Dorottya, Fehérvári Donát, Gecseg Bence, Hári Anna, Horváth Milán, Hosszu Noel, Jakusch Tamás, Keszthelyi Eszter, Kiss 625 Dóra, Klepáček László, Lőw László, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Vitálos Tünde, Werner Kinga, Wrana Gergő. 4 pontot kapott: Németh Dorina, Simon 456 Dániel. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai