![]() |
A C. 1679. feladat (2021. szeptember) |
C. 1679. Igazoljuk, hogy az
\(\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \)
kifejezés értéke \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közé esik.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.
1. megoldás. Legyen \(\displaystyle S:=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\).
Mivel
\(\displaystyle 1-\frac12,\quad \frac13-\frac14, \quad \dots, \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\)
mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle S\) is az.
Hasonlóan, mivel
\(\displaystyle \frac12-\frac13,\quad \frac14-\frac15,\quad \dots, \frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\)
mind pozitívak, ezért összegük, \(\displaystyle 1-S-\frac{1}{2022}\) is az. Ez azt jelenti, hogy
\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)
Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.
2. megoldás. A megoldás során az
\(\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{1}{a(a+1)}\)
összefüggést fogjuk többször is alkalmazni.
Először is,
\(\displaystyle S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022},\)
amiből egyből látható, hogy \(\displaystyle S>0\), hiszen 1011 pozitív tag összegeként állítottuk elő.
Ha \(\displaystyle S\)-hez hozzáadjuk a
\(\displaystyle T:=\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots+\frac{1}{2020\cdot 2021}\)
pozitív összeget, majd a fenti átalakítást visszafelé is elvégezzük, egy teleszkopikus összeget kapunk:
\(\displaystyle S+T=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} +\dots+\frac{1}{2021\cdot 2022}=\)
\(\displaystyle =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right)+\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)=1-\frac{1}{2022},\)
amiből \(\displaystyle T>0\) alapján
\(\displaystyle S<1-\frac{1}{2022}<1.\)
Tehát \(\displaystyle S\) értéke valóban 0 és 1 közötti.
Statisztika:
257 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 98 versenyző. 4 pontot kapott: 36 versenyző. 3 pontot kapott: 39 versenyző. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai