A C. 1743. feladat (2022. december)

C. 1743. Mutassuk meg, hogy hét természetes szám között, amelyek egy \(\displaystyle 30\) különbségű számtani sorozat egymás utáni tagjai, pontosan egy \(\displaystyle 7\)-tel osztható szám van.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a tagokat növekvő sorrendben \(\displaystyle a_i\), \(\displaystyle a_{i+1}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{i+6}\)-tal. Tegyük fel, hogy a sorozat legkisebb tagja \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle m\) maradékot ad, vagyis \(\displaystyle a_i=7k+m\) alakú, ahol \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\), valamint \(\displaystyle 0 \leq m \leq 6 \) természetes szám. Ekkor a sorozat következő tagja:

\(\displaystyle a_{i+1}=7k+m+30=7k+m+7 \cdot 4 +2= 7(k+4)+m+2\)

alakú, azaz \(\displaystyle 7\)-tel osztva \(\displaystyle m+2\) maradékot ad. Teljesen hasonlóan kapjuk meg a további tagokat:

\(\displaystyle a_{i+2}=7(k+8)+m+4,\)

\(\displaystyle a_{i+3}=7(k+12)+m+6,\)

\(\displaystyle a_{i+4}=7(k+17)+m+1,\)

\(\displaystyle a_{i+5}=7(k+21)+m+3,\)

\(\displaystyle a_{i+6}=7(k+25)+m+5.\)

Láthatjuk, hogy a hét szám \(\displaystyle 7\)-tel osztva hét különböző maradékot ad, így közülük pontosan egy osztható \(\displaystyle 7\)-tel.

Megjegyzés. Valójában ennél többet is beláttunk, hiszen megmutattuk, hogy \(\displaystyle 7\)-tel osztva bármely maradékot adó számból pontosan egy van közöttük.

Statisztika:

229 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	48 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai