Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1763. feladat (2023. április)

C. 1763. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle 4^{52}+52^{2023}+2023^{52}\) szám osztható \(\displaystyle 15\)-tel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Egy egész szám pontosan akkor osztható \(\displaystyle 15\)-tel, ha \(\displaystyle 3\)-mal is és \(\displaystyle 5\)-tel is osztható.

Nézzük először a \(\displaystyle 3\)-mal való oszthatóságot. A \(\displaystyle 4\)-nek a \(\displaystyle 3\)-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 1\), ezért a \(\displaystyle 4\) pozitív egész kitevőjű hatványainak is \(\displaystyle 1\) a maradéka \(\displaystyle 3\)-mal osztva, azaz a vizsgált kifejezés első tagjának, a \(\displaystyle 4^{52}\)-nek is. Ugyanez igaz az \(\displaystyle 52\)-re és a \(\displaystyle 2023\)-ra is, így az \(\displaystyle 52^{2023}\) és a \(\displaystyle 2023^{52}\) is \(\displaystyle 1\) maradékot ad \(\displaystyle 3\)-mal osztva. Három ilyen számot összeadva a maradékok összeadódnak: \(\displaystyle 1+1+1=3\), azaz az összeg osztható \(\displaystyle 3\)-mal.

Ezután rátérünk az \(\displaystyle 5\)-tel való oszthatóságra, ehhez elegendő az utolsó számjegyet vizsgálni. A \(\displaystyle 4\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései kettesével ismétlődnek (\(\displaystyle 4, 6, 4, \ldots\)), tehát a páros kitevőjű hatványai \(\displaystyle 6\)-ra végződnek, ezért a \(\displaystyle 4^{52}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 6\). Az \(\displaystyle 52\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései négyesével ismétlődnek (\(\displaystyle 2, 4, 8, 6, 2, 4 \ldots\)), tehát a \(\displaystyle 4\)-gyel osztva \(\displaystyle 3\) maradékot adó kitevő esetén a megfelelő hatvány végződése \(\displaystyle 8\), ezért az \(\displaystyle 52^{2023}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 8\). A \(\displaystyle 2023\) pozitív egész kitevőjű hatványainak végződései szintén négyesével ismétlődnek (\(\displaystyle 3, 9, 7, 1, 3, 9 \ldots\)), tehát \(\displaystyle 4\)-gyel osztható kitevő esetén a hatvány \(\displaystyle 1\)-re végződik, ezért a \(\displaystyle 2023^{52}\) utolsó számjegye \(\displaystyle 1\). A végződések összege \(\displaystyle 6+8+1=15\), vagyis a háromtagú összeg utolsó jegye \(\displaystyle 5\), tehát osztható \(\displaystyle 5\)-tel.

Beláttuk, hogy a megadott kifejezés osztható \(\displaystyle 3\)-mal és \(\displaystyle 5\)-tel, ezzel a bizonyítást befejeztük.


Statisztika:

150 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:104 versenyző.
4 pontot kapott:17 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai