Problem C. 1842. (January 2025)

C. 1842. Solve equation \(\displaystyle 9^x+(6x-23)\cdot 3^x+5x^2-39x+76=0\) for real numbers.

Proposed by: Mihály Bencze, Brasov

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle y = 3^x\) jelölést, és vegyük észre, hogy ekkor a paraméteres egyenletünk \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú. A másodfokú egyenlet megoldóképletét használva kapjuk, hogy

\(\displaystyle y_{1,\,2}=\frac{-(6x-23)\pm \sqrt{(6x-23)^2-4(5x^2-39x+76)}}{2}= \frac{-6x+23 \pm (4x-15)}{2}. \)

Ebből \(\displaystyle y_1 = -x+4\) és \(\displaystyle y_2 = -5x + 19\), melyek a visszahelyettesítés után rendre a \(\displaystyle 3^x+x=4\), illetve \(\displaystyle 3^x+5x=19\) egyenletekhez vezetnek. Mindkét egyenlet bal oldala szigorúan monoton nő, míg a jobb oldala konstans, így legfeljebb egy-egy megoldás létezhet. Az \(\displaystyle x=1\), illetve \(\displaystyle x=2\) pedig valóban megoldások. Az ekvivalens átalakítások miatt pontosan ezek a megoldások.

Statistics:

43 students sent a solution.
5 points:	Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Budai Máté, Fábián Bertalan, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Molnár Lili, Monoczki Máté, Nagy Krisztofer , Pánovics Máté, Rózsa Zsombor, Sebők Violetta Írisz.
4 points:	Albert Luca Liliána, Barna 201 Krisztina, Bencze Mátyás, Bernáth Csenge, Farkas András, Farkas Máté, Hetyei Dániel, Kasza-Csótai Ádám, Király Zsuzsanna , Kiss Máté, Kulcsár Anna Zita, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Móricz Zsombor, Palásthy Bánk, Pikó András, Pink István, Sárecz Bence, Száva András.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025