A C. 1845. feladat (2025. február)

C. 1845. Ezékiel összeszorzott két egész számot. A két szám közül az egyik \(\displaystyle 74\)-gyel nagyobb volt, mint a másik. A szorzásnál hibázott, mert a szorzatban a tízesek helyére véletlenül \(\displaystyle 3\)-mal kisebb számjegyet írt, mint kellett volna. A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul pontosan \(\displaystyle 61\)-et kapott. Mi lehetett a két szám?

Javasolta: Sánta Gergely, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kisebbik szám \(\displaystyle x\), ekkor a nagyobbik \(\displaystyle x+74\). Két esetet vizsgálunk az \(\displaystyle x(x+74)\) szorzat előjele alapján.

1. eset. Amennyiben két pozitív vagy két negatív számot szorzott össze, a szorzat pozitív, ezért Ezékiel a helyes eredménynél \(\displaystyle 30\)-cal kevesebb kapott. Felírjuk az \(\displaystyle x(x+74)-30=61x\) másodfokú egyenletet, rendezzük: \(\displaystyle x^2+13x-30=0,\) a megoldások \(\displaystyle x_1=2, ~~x_2= -15\); de a \(\displaystyle -15\) nem jó, mert a \(\displaystyle -15\) és a \(\displaystyle -15+74=59\) nem azonos előjelű.

2. eset. Negatív szorzat esetén, ha a tízes helyiértéken álló számjegyet \(\displaystyle 3\)-mal csökkentjük, a szám abszolút értéke csökken, vagyis nagyobb számot kapunk. Tehát a hibás eredmény \(\displaystyle 30\)-cal nagyobb a helyes értéknél, így most az \(\displaystyle x(x+74)+30=61x\) egyenletet oldjuk meg, amiből \(\displaystyle x_1=-3, ~~ x_2=-10\) adódik, ezek előjel szempontjából megfelelőek.

Ellenőrizzük a megoldást.

Ha \(\displaystyle x=2\), akkor \(\displaystyle x+74=76\), szorzatuk \(\displaystyle 2 \cdot 76=152,\) valamint \(\displaystyle \frac{122}{2}=61\), így jó megoldást kaptunk.

Ha \(\displaystyle x=-3\), akkor \(\displaystyle x+74=71\), szorzatuk \(\displaystyle -3 \cdot 71=-213,\) és a tízesek helyiértékén \(\displaystyle 1\) áll, amelynél nincs \(\displaystyle 3\)-mal kisebb számjegy, ezért ezt kizárjuk a megoldások közül.

Ha \(\displaystyle x=-10\), akkor \(\displaystyle x+74=64\), szorzatuk \(\displaystyle -10 \cdot 64=-640,\) valamint \(\displaystyle \frac{-610}{-10}=61\), így ez szintén jó megoldás.

Válasz: A két szám a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 76\) vagy a \(\displaystyle -10\) és a \(\displaystyle 64\) lehetett.

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartusková Viktória, Békési Máté, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Csikós Annamária, Farkas András, Fülöp Magdaléna, Gönczi Botond, Halász Tamás, Harangozó Gergő, Hetyei Dániel, Hodossy-Takács Ráhel, Ivák László, Iván Máté Domonkos, Kajati Csilla, Kókai Ákos, Kóródy Vera, Lovas Márk, Malinkó Dioméd, Masa Barnabás, Mateas Isabelle, Medgyesi Júlia, Miskolczi Máté Pál, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Pintér Lilianna, Poczai Dorottya, Simon Kornél, Sipos Ferenc László, Sipos Levente, Sisák Barbara, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szmodics Emese Anna, Tóth Luca, Viczián Adél, Winkler-Antal Dalma, Zsemlye Zsóka.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	48 versenyző.
1 pontot kapott:	52 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	19 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai