 |
A C. 1850. feladat (2025. március) |
C. 1850. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számokra \(\displaystyle abc^6=\frac{b^2}{c^2}=16\) teljesül, akkor \(\displaystyle a+4b>16\).
Javasolta: Czett Mátyás, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle abc^6=2^4\) és \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4\), vegyük észre, hogy a kettőt összeszorozva egy nyolcadfokú kifejezést kapunk, ami \(\displaystyle 2^8\)-nal egyenlő:
\(\displaystyle ab^3c^4=2^8,\)
\(\displaystyle 2=\sqrt[8]{ab^3c^4}.\)
Ez egy mértani közép, felírhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle 2=\sqrt[8]{abbbcccc}\le\frac{a+3b+4c}8.\)
Mindkét oldalt 8-cal szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 16\le a+3b+4c\).
Mivel \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4\), tudjuk, hogy \(\displaystyle 4c=b\) (hiszen a, b és c pozitívak), így \(\displaystyle 16\le a+3b+b=a+4b\).
Egyenlőség akkor állhatna fenn, ha \(\displaystyle a=b=c\), de ekkor \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=1\ne 16\).
Statisztika:
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai