A C. 1860. feladat (2025. május)

C. 1860. Tekintsünk egy pozitív egész számokból álló mértani sorozatot. Igazoljuk, hogy bármely három egymást követő sorozattag kontraharmonikus közepe egész szám. Állapítsuk meg, mitől függ ennek az egész számnak a paritása.

Az \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{n}\) pozitív valós számok \(\displaystyle C\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) kontraharmonikus közepén a következő kifejezést értjük:

\(\displaystyle C\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}. \)

Javasolta: Unyi Tamás (Szada)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a mértani sorozat három egymást követő tagja: \(\displaystyle a,\ a \cdot q,\ a \cdot q^{2}\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle q\) is pozitív egész számok.

I. eset: Ha \(\displaystyle q = 1\), akkor konstans sorozatról van szó, az egyforma tagok kontraharmonikus közepe is ugyanennyi, tehát egész szám.

II. eset: Ha \(\displaystyle q \neq 1\), akkor a tagok összege:

\(\displaystyle a + a \cdot q + a \cdot q^{2} = a \cdot \frac{q^{3} - 1}{q - 1}.\)

A tagok négyzetének összege:

\(\displaystyle a^{2} + a^{2} \cdot q^{2} + a^{2} \cdot q^{4} = a^{2} + a^{2} \cdot q^{2} + a^{2} \cdot \left( q^{2} \right)^{2} = a^{2} \cdot \frac{\left( q^{2} \right)^{3} - 1}{q^{2} - 1} = a^{2} \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{2} - 1}.\)

Így a tagok kontraharmonikus közepe:

\(\displaystyle C\left( a,a \cdot q,a \cdot q^{2} \right) = \left( a^{2} \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{2} - 1} \right) \div \left( a \cdot \frac{q^{3} - 1}{q - 1} \right) = \)

\(\displaystyle =a \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{3} - 1} \cdot \frac{q - 1}{q^{2} - 1} = a \cdot \frac{q^{3} + 1}{q + 1} = a \cdot \left( q^{2} - q + 1 \right).\)

A feltételek miatt ez is egész szám. A szorzat második tényezője:

\(\displaystyle q^{2} - q + 1=q(q-1)+1,\)

amely – \(\displaystyle q\) paritásától függetlenül – páratlan szám, ezért a kontraharmonikus középként kapott egész szám paritása kizárólag az \(\displaystyle a\)-val jelölt tag paritásától függ.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bara Boglárka , Békési Máté, Bense Tamás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Farkas András, Fülöp Magdaléna, Halász Tamás, Hetyei Dániel, Hicsó Máté Kristóf, Iván Máté Domonkos, Kallós Klára, Kasza-Csótai Ádám, Kókai Ákos, Kudomrák Lili Anna , Kulcsár Anna Zita, Kun Petra, Lovas Márk, Majer Veronika, Máté Kristóf, Máté Zsófia, Mezei Marcell, Miszori Márton, Mizsei Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Pink István, Poczai Dorottya, Radošická Emma, Ráthonyi Vivien, Rózsa Zsombor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szighardt Anna, Szmodics Emese Anna, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél, Winkler-Antal Dalma, Wolf Erik.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai