 |
A C. 1878. feladat (2025. december) |
C. 1878. Hány olyan tízes számrendszerbeli négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben legfeljebb az egyik számjegy osztható \(\displaystyle 3\)-mal, a számjegyek összege \(\displaystyle 15\), a számjegyek \(\displaystyle 3\)-as maradékainak összege pedig \(\displaystyle 6\)?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek alapján vagy pontosan egy \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy van, vagy nincs \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy.
1. eset Ha az egyik számjegy osztható \(\displaystyle 3\)-mal, akkor az összes többi \(\displaystyle 3\)-mal osztva \(\displaystyle 2\) maradékot ad, hiszen csak így lehet a \(\displaystyle 3\)-as maradékok összege \(\displaystyle 6\). Tehát az egyik számjegy a \(\displaystyle \{0;3;6;9\}\) halmaz eleme, míg a másik három számjegy a \(\displaystyle \{2;5;8\}\) halmaz eleme.
\(\displaystyle a)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 0\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 15\), ez \(\displaystyle 2+5+8\), illetve \(\displaystyle 5+5+5\)-ként adódhat. Mivel a \(\displaystyle 0\) nem lehet az első számjegy, így \(\displaystyle 3\cdot3\cdot2\cdot1=18\), illetve a \(\displaystyle 0\) helye szerint \(\displaystyle 3\) ilyen négyjegyű szám van, összesen \(\displaystyle 18+3=21\) darab szám.
\(\displaystyle b)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 3\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 12\), ez \(\displaystyle 2+5+5\), illetve \(\displaystyle 2+2+8\)-ként adódhat. Mindkét esetben kétszer szerepel ugyanaz a számjegy, így esetenként \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\), összesen \(\displaystyle 2\cdot 12=24\) darab ilyen szám van.
\(\displaystyle c)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 6\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 9\), ez \(\displaystyle 2+2+5\)-ből jöhet ki, így (ismétléses permutációval) \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab megfelelő számot találunk.
\(\displaystyle d)\) Ha pedig az egyik számjegy a \(\displaystyle 9\), akkor a másik három kizárólag \(\displaystyle 2\)-es lehet, így a \(\displaystyle 9\)-es helyét változtatva \(\displaystyle 4\) darab megfelelő számot találunk.
Összegezve: \(\displaystyle 21+24+12+4=61\) számot találtunk az \(\displaystyle 1.\) esetben.
2. eset Ha nincs \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy, akkor a \(\displaystyle 3\)-as maradékok összege csak az \(\displaystyle 1+1+2+2=6\) alapján felel meg, tehát két számjegy a \(\displaystyle \{1;4;7\}\) halmaz eleme, míg a másik két számjegy a \(\displaystyle \{2;5;8\}\) halmaz eleme. A számjegyek összegét figyelembe véve az alábbi esetek adódnak:
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 8+5+1+1=15\), a két \(\displaystyle 1\)-es miatt ilyen négyjegyű számból \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab különböző létezik.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 8+2+4+1=15\), ilyen négyjegyű szám \(\displaystyle 4!=24\) darab van.
\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle 5+5+4+1=15\), a két \(\displaystyle 5\)-ös miatt \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab megfelelő szám létezik.
\(\displaystyle d)\) \(\displaystyle 5+2+4+4=15\), a két \(\displaystyle 4\)-es miatt ilyen négyjegyű számból \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab különböző létezik.
\(\displaystyle e)\) \(\displaystyle 5+2+7+1=15\), ez újabb \(\displaystyle 4!=24\) megfelelő számot ad.
\(\displaystyle f)\) \(\displaystyle 2+2+7+4=15\), a két \(\displaystyle 2\)-es miatt még \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab számot találtunk.
A \(\displaystyle 2.\) esetben tehát \(\displaystyle 12+24+12+12+24+12=96\) darab számot találtunk.
Mindösszesen \(\displaystyle 61+96=157\) olyan négyjegyű szám van, amely a feladat összes feltételét kielégíti.
Statisztika:
A C. 1878. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai