A C. 1880. feladat (2025. december)

C. 1880. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az \(\displaystyle (x+1)!=x^3-x\) egyenletet.

Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor a bal oldal \(\displaystyle 1!=1\), míg a jobb oldal \(\displaystyle 0^3-0=0\), tehát az \(\displaystyle x=0\) nem megoldás.

Ha \(\displaystyle x=1\), akkor a bal oldal \(\displaystyle 2!=2\), míg a jobb oldal \(\displaystyle 1^3-1=0\), tehát az \(\displaystyle x=1\) nem megoldás.

Ha \(\displaystyle x\geq2\), akkor a bal oldalon a faktoriális definícióját, a jobb oldalon pedig kiemelést és egy nevezetes azonosságot használva adódik:

\(\displaystyle (x+1)x(x-1) \cdot (x-2)! = x(x-1)(x+1).\)

Mivel \(\displaystyle (x-1)x(x+1) \neq 0\), így az ezzel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy \(\displaystyle (x-2)! = 1\).

A jobb oldal konstans, a bal oldal értéke \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle x=3\) esetén \(\displaystyle 1\) (hiszen \(\displaystyle 0!=1!=1\)), különben \(\displaystyle x\geq 3\) esetén nagyobb, mint 1, és szigorúan monoton nő, így csak ez a két megoldása van az egyenletnek.

Statisztika:

A C. 1880. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai