Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 817. feladat (2005. szeptember)

C. 817. Miután Klári kiszámolta, hogy 62+8=44, észrevette, hogy 662+88=4444. Igaz-e minden n-re, hogy

(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


Megoldás. Azt állítjuk, hogy (\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}} minden pozitív egész n-re igaz. Bizonyítás: teljes indukcióval.

n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n-re igaz. Bizonyítandó, hogy n+1-re is igaz: (\underbrace{6\dots6}_{n+1~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n+1~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n+2~{\rm jegy}}. Legyen a=\underbrace{1\dots1}_{n~{\rm jegy}}, b=\underbrace{1\dots1}_{2n~{\rm jegy}}. Azt kell bizonyítani, hogy ha (6a)2+8a=4b (1), akkor 6.(10a+1))2+8(10a+1)=4(100b+11). Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a2+2 kifejezést írva:

36.(10a+1)2+80a+8=400b+44,

9(100a2+2a+1)+20a+2=100b+11,

900a2+200a+11=900a2+200a+11.

Ez azonosság, tehát az állítás teljesül (n+1)-re is. Vagyis minden n-re teljesül.


Statisztika:

528 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:305 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:74 versenyző.
1 pontot kapott:42 versenyző.
0 pontot kapott:73 versenyző.
Nem versenyszerű:12 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai