Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 824. feladat (2005. október)

C. 824. Egy kocka alaplapjának körülírt köre és fedőlapjának beírt köre egy csonkakúp alap-, illetve fedőköre. Hogyan aránylik a csonkakúp térfogata a kocka térfogatához?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a kocka élét a, az alaplap köré írt kör sugarát R, a fedőlapba írt körét pedig r. Ekkor:

R={\sqrt2\over2}a,

r={1\over2}a,

Vkocka=a3,

V_{csonkak\'up}={\pi\over3}\cdot a(R^2+r^2+Rr)={\pi\over3}\cdot a({2\over4}a^2+{1\over4}a^2+{\sqrt2\over4}a^2)=a^3\cdot{\pi\over12}(3+\sqrt2).

A kérdéses arány: {\pi\over12}(3+\sqrt2) : 1 = \pi(3+\sqrt2) : 12.

Statisztika:

534 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:426 versenyző.
4 pontot kapott:25 versenyző.
3 pontot kapott:29 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:23 versenyző.
Nem versenyszerű:10 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai