A C. 912. feladat (2007. október)

C. 912. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelyben az oldalak a, b, c hossza egész szám, (a,b,c)=1 és az egyik súlyvonalának hossza 7,5?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a és b a két befogót, c pedig az átfogót.

I. eset: az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Ez egyben c/2 is, vagyis ekkor c=15, és így

a²+b²=15.

Mivel 15 oszható 3-mal, ezért a bal oldal is osztható 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal oszható, ha mindkét szám oszható 3-mal. Ekkor viszont (a,b,c)1.

II. eset: az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Legyen ez mondjuk a b oldal. Ekkor

ahonnan

(2a)²+b²=15².

A jobb oldal osztható 3-mal, így az előző esethez hasonlóan azt kapjuk, hogy 2a és b is 3-mal oszható, így a és b is, tehát (a,b,c)1.

Nincs ilyen derékszögű háromszög.

Statisztika:

392 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	199 versenyző.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	34 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	34 versenyző.
0 pontot kapott:	40 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai