Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 913. feladat (2007. október)

C. 913. Az ABC háromszögbe írható kör középpontja O, a BC oldalhoz írható kör középpontja K. Mikor lesz a BKCO négyszög deltoid? Mikor lesz téglalap?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: A szokásos jelölésekkel:

BOC\angle=180o-\gamma/2-\beta/2=180o-(90o-\alpha/2)=90o+\alpha/2>90o,

tehát a négyszög sosem lesz téglalap.

Mivel a belső és a külső szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért

OCK\angle=OBK\angle=90o.

Mivel COB\angle>90o, ezért CKB\angle<90o, tehát a négyszög csak úgy lehet deltoid, ha az OK átlójára szimmetrikus. Ekkor OC=OB, vagyis az OBC háromszög egyenlő szárú, így \gamma/2=\beta/2, tehát \gamma=\beta. Ekkor a BCK háromszög is egyenlő szárú, mert a BC-n fekvő szögei egyenlőek. Így BK=CO is teljesül.

Vagyis a négyszög akkor deltoid, ha \gamma=\beta, vagyis AC=BC.


Statisztika:

357 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:78 versenyző.
4 pontot kapott:77 versenyző.
3 pontot kapott:52 versenyző.
2 pontot kapott:61 versenyző.
1 pontot kapott:24 versenyző.
0 pontot kapott:54 versenyző.
Nem versenyszerű:11 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai