Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 990. feladat (2009. május)

C. 990. Határozzuk meg azokat az egész számokat, amelyekre a

6x2-167x-4823

kifejezés értéke

a) prímszám;

b) a lehető legkisebb egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. a) A 6x2-167x-4823=0 másodfokú egyenlet gyökei: x_1=-\frac{53}{3}, x_2=\frac{91}{2}.

Így a gyöktényezős alak segítségével:

6x^2-167x-4823=6\left(x-\frac{91}{2}\right)\left(x+\frac{53}{3}\right)=(2x-91)(3x+53).

Tehát (2x-91)(3x+53)=p.

Mivel p prím, ezért a szorzat egyik tényezője csak 1 vagy -1 lehet.

Tehát a kifejezés értéke az x=-18 és az x=46 esetben lesz prímszám.

b) Teljes négyzetté kiegészítéssel:

6x^2-167x-4823=6\left(x^2-\frac{167}{6}x-\frac{4823}{6}\right)=6\left(\left(x-\frac{167}{12}\right)^2-\frac{143641}{144}\right).

A kifejezés a minimumát az x=\frac{167}{12} helyen veszi fel. Mivel előtte szigorúan monoton csökken, utána szigorúan monoton nő, a legkisebb egész számot a minimumhelyet közbezáró egész számoknál, vagyis az x=13, vagy az x=14 helyeken veheti fel. x=13-ra a kifejezés helyettesítési értéke -5980, x=14-re pedig -5985.

Tehát a kifejezés értéke az x=14 esetben lesz a lehető legkisebb egész szám.


Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Almási Péter, Balázs 687 Bálint, Bárány Ambrus, Baranyai Zoltán, Beke András, Benyó Krisztián, Bodnár Domonkos, Botond Ákos, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Fábián Kata, Farkas Zsuzsanna, Fülöp Dóra, Galambos 124 Mónika, Gozsovics Dóra, Gudenus Balázs, Halász 423 Dániel, Haléder Zsuzsanna, Jezeri András, Kitzinger Andor, Konczi Anita, Kovács 235 Gábor, Kungl 008 Ákos, Kurucz Balázs, Lantos Dániel, Lőrincz Dóra, Matyuska Péter, Medvey Fanni, Meszlényi Regina, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Morapitiye Sunil, Nagy 014 Gergely, Nánási József, Pásztor Bálint, Pósfai Balázs, Repka 666 Dániel, Samu Viktor, Schindele Kornélia, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szekeres Dorottya, Szepesvári Eszter, Szepesvári Réka, Tamás Ádám, Tolnai Dániel, Várnai Péter, Végh János, Zsakó András.
4 pontot kapott:34 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:16 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai