Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 991. feladat (2009. május)

C. 991. A 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöget az átfogóra merőleges egyenessel szétvágjuk egy érintőnégyszögre és egy derékszögű háromszögre. Határozzuk meg a négyszög oldalainak hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a=3, b=4, c=5.

1.eset: Az egyenes a b oldalt metszi a Qb pontban.

Legyen BP=x, ekkor PA=5-x. Mivel AQ_bP\triangle\approx ABC\triangle, ezért \frac{PQ_b}{5-x}=\frac34~\Rightarrow~PQ_b=\frac34(5-x) és \frac{Q_bA}{5-x}=\frac54~\Rightarrow~Q_bA=\frac54(5-x).

Ekkor CQ_b=4-\frac54(5-x)=\frac{5x-9}{4}.

Mivel BCQbP érintőnégyszög, azért BC+QbP=CQb+PB, azaz 3+\frac34(5-x)=\frac{5x-9}{4}+x, ebből x=3.

Tehát a négyszög oldalai 3; 1,5; 1,5; 3.

2. eset: Az egyenes az a oldalt metszi a Qa pontban. Legyen AP=x, ekkor PB=5-x. Mivel BQ_aP\triangle\approx BAC\triangle, ezért \frac{PQ_a}{5-x}=\frac43~\Rightarrow~PQ_a=\frac43(5-x) és \frac{Q_aB}{5-x}=\frac53~\Rightarrow~Q_aB=\frac53(5-x).

Ekkor CQ_a=3-\frac53(5-x)=\frac{5x-16}{3}.

Mivel APQaC érintőnégyszög, azért AC+QaP=CQa+PA, 4+\frac43(5-x)=\frac{5x-16}{3}+x, ebből x=4.

Tehát a négyszög oldalai 4; \frac43; \frac43; 4.


Statisztika:

123 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:76 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:30 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai