Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 185. feladat (2008. november)

K. 185. Tíz csapat körmérkőzéses futballbajnokságot játszik, azaz minden csapat minden csapattal pontosan egyszer mérkőzik. Egy meccsen a győztes csapat 3, a vesztes 0 pontot kap, döntetlen esetén mindkét csapat 1-1 ponttal gazdagodik. A bajnokság végére a csapatok pontszámának összege 119 lett. Igaz-e, hogy volt olyan csapat, amelyik legalább négy döntetlent játszott?

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A tíz csapat közötti mérkőzések száma összesen \frac{10\cdot9}{2}=45. Mivel minden meccsen összesen 3 vagy 2 pontot osztanak ki, ezért a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma maximum 3.45=135. Ehhez képest azonban vesztettek összesen 16 pontot, azaz a lejátszott mérkőzések között 16 döntetlen volt. Ez összesen 32 döntetlen eredmény az egyes csapatokat tekintve, melyet a tíz csapat között kell szétosztani (mert egy döntetlen két csapathoz kapcsolódik), tehát mindenképpen volt olyan csapat, amelyik négy döntetlent játszott, ellenkező esetben legfeljebb 30 döntetlent könyvelhettek volna el összesen a csapatok.


Statisztika:

183 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:111 versenyző.
5 pontot kapott:13 versenyző.
4 pontot kapott:7 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:21 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai