 |
A K. 240. feladat (2010. január) |
K. 240. Egy T tagú társaság kirándulni indult. A társaság pontosan fele gyalog ment. A gyalogúton T kilométerre lévő célt 1 óra alatt tették meg. A társaság másik fele biciklivel indult útnak egy másik úton. Az átlagsebességük (nem számolva, amikor álltak) T híján T-szerese volt a gyalogosok sebességének.
A biciklisek útközben egyikük defektje miatt megálltak T percre, majd egy másikuk láncszakadása miatt még T-szer annyi időre. Mikor továbbindultak, T percig egy addig sértetlen bicikli haladt az élen, majd átadta a vezetést másnak. Végül a biciklisek T perccel hamarabb érkeztek, mint a gyalogosok. Milyen hosszú volt a biciklis és milyen hosszú a gyalogos út?
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A megtett távolságokat mérjük \(\displaystyle km\)-ben, az eltelt időt órában és a sebességet \(\displaystyle \displaystyle{\frac{km}{h}}\)-ban. A feladat szerint a gyalogosok átlagsebessége \(\displaystyle T\), a bicikliseké pedig \(\displaystyle T^2-T\). A kerékpárút hosszát jelölje \(\displaystyle x\), amit összesen
\(\displaystyle \displaystyle{1-\frac{T}{60}}\)
óra alatt tettek meg, beleszámolva a megállást is. Először \(\displaystyle \displaystyle{\frac{T}{60}}h\)-ra álltak meg, majd ennek \(\displaystyle T\)-szeresére, tehát a kerékpáron eltöltött idő összesen \(\displaystyle \displaystyle{1-\frac{T}{60}\frac{T+T^2}{60}}h\). Az átlagsebességükre tehát a következő összefüggést kapjuk:
| (1) | \(\displaystyle \frac{x}{1-\frac{T}{60}\frac{T+T^2}{60}}=T^2-T. \) |
A feladat szerint tudjuk, hogy a \(\displaystyle T\) tagú társaság fele ment gyalog, azaz \(\displaystyle T\) páros pozitív egész. Másrészről két ``sérülés'' után még maradt ``épp'' biciklis, ezért \(\displaystyle T/2\ge 3\), azaz \(\displaystyle T\ge 6\).
(1) egyenletbeli tört \(\displaystyle \displaystyle{\frac{60x}{60-2T-T^2}}\) alakra írható át, mely tört pozitív egész értékű,. Mivel \(\displaystyle 60x\) pozitív, ezért nevezőjének is annak kell lennie, azaz \(\displaystyle 60-2T-T^2>0\). Átalakítva kapjuk, hogy \(\displaystyle (T+1)^2-59<0\), amiből figyelembe véve, hogy \(\displaystyle T\) egész, \(\displaystyle T+1\le 7\). A fenti megszorítás szerint \(\displaystyle T=6\) lehet. (1)-ből \(\displaystyle x\)-t kifejezve és \(\displaystyle T\)-t behelyettesítve kajuk, hogy \(\displaystyle x=6\).
Mind a gyalogos, mind a bicikliút 6km hosszú volt.
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bingler Arnold, Dankovics Viktor, Déri Tamás, Erdős Szilvia, Heimann Gergő, Horváth 0102 Dániel, Horváth 424 Orsolya, Iván Jonatán, Jenei Márk, Károly Péter Balázs, Katona 100 Bálint, Kedves Máté, Kelemen Bendegúz, Kertész Dávid, Kovács 555 Dániel, Kovács 737 Ármin, Kungl Nóra, Leitereg András, Marx Anita, Mezősi Máté, Nagy 021 Tibor, Németh 722 Noémi, Németh Márton, Pilinszki - Nagy Csongor, Rakovszky Dorina, Schrodt Ádám, Szabó 262 Lóránt, Székely Mátyás, Szeredi Levente Soma, Szkalisity Ábel, Tóth 315 Benedek, Tóth 826 Ábel, Tóth Endre, Tóth Márton, Tóth Máté, Tragor Márton, Ványi Richárd Mihály, Varga 149 Imre Károly, Vecsernyés Tamás, Végh Dávid András, Welsz Ágnes, Wiandt Zsófia. 5 pontot kapott: 14 versenyző. 4 pontot kapott: 9 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai