 |
A K. 280. feladat (2011. január) |
K. 280. Keressük meg azt a legkisebb (2a3b7c alakú) pozitív természetes számot, amelynek a fele egy egész szám köbe, a harmada egy egész szám hetedik hatványa, a hetede pedig egy egész szám négyzete.
(6 pont)
A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a 2, 3, 7 prímek, ezért ha \(\displaystyle N=2^a 3^b 7^c\), akkor \(\displaystyle \frac N2 =2^{a-1} 3^b 7^c=n^3\), melynek prímfelbontásában minden kitevő 3-mal osztható: \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) osztható 3-mal, \(\displaystyle a\) pedig 1 maradékot ad. Ugyanígy \(\displaystyle \frac N3 =2^{a} 3^{b-1} 7^{c}=m^7\) miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) osztható 7-tel, \(\displaystyle b\) pedig 1 maradékot ad. Legvégül \(\displaystyle \frac N7 =2^{a} 3^{b} 7^{c-1}=p^2\), azaz \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) páros, \(\displaystyle c\) páratlan. Tehát \(\displaystyle a\) 7-nek többszöröse és páros: 14, 28, ... és 1 maradékot ad hárommal osztva. Ezért a legkisebb ilyen szám az \(\displaystyle a=28\). Ugyanígy \(\displaystyle b\) 6 többszöröse és 7-tel osztva 1 maradékot ad. A legkisebb ilyen a \(\displaystyle b=36\). Végül \(\displaystyle c\) páratlan, 21-gyel osztható szám. A legkisebb \(\displaystyle c=21\). A feltételeknek megfelelő legkisebb pozitív egész szám az \(\displaystyle N=2^{28}3^{36}7^{21}\).
Statisztika:
124 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ábrahám Dénes, Arnold Balázs, Árvay Júlia, Aszalós Eszter, Balogh Tamás, Bodolai Henrietta, Borsos Márton, Daku Gábor, Farkas Dóra, Fáró Jenő, Fehér Szabolcs, Fehér Zsuzsanna, Gosztonyi Dorottya, Gömbös Patrik, Győrfi-Bátori András, Harcsa-Pintér Bálint, Illés 456 Tamás, Kerner Bálint, Kiss 123 Veronika, Kiss 433 Ferenc, Kóródi Brúnó Zoltán, Kovács Bence, Kovács-Deák Máté, Kulcsár Ildikó, Marx Pál Fülöp, Mikecz Márk, Móricz Tamás, Muraközi Zsófia, Nagy 718 Réka, Novográdecz Katalin, Pajor Péter, Rikker Bálint, Sándor Krisztián, Sánta Szilvia, Somogyvári Kristóf, Suhai Kristóf, Szabó 524 Tímea, Székely Ádám, Szelestei Dorottya, Telek Máté László, Tihanyi Dániel, Varkoly Fanni, Vatamány Lóránd, Vörös Zoltán János, Zoltán Éva Berta, Zsíros Szanna. 5 pontot kapott: 41 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2011. januári matematika feladatai