A K. 289. feladat (2011. március)

K. 289. Ha egy háromjegyű számnak elhagyjuk a középső számjegyét, akkor pontosan a hetedét kapjuk. Melyik ez a háromjegyű szám?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromjegyű szám \(\displaystyle N=\overline{abc}\), akkor a feladat szerint \(\displaystyle \overline{abc}=7\overline{ac}\), azaz \(\displaystyle N\) 7-tel osztható, másrészről legfeljebb \(\displaystyle 7\cdot 99=693\), azaz \(\displaystyle a\le 6\), így \(\displaystyle N\le 7\cdot 69=483\). Innen \(\displaystyle a\le 4\), azaz \(\displaystyle N\le 7\cdot 49=343\). Tehát \(\displaystyle a\le 3\), így \(\displaystyle n\le 7\cdot 39=273\), ezért \(\displaystyle a\le 2\) és \(\displaystyle N\le 7\cdot 29=203\). Ha \(\displaystyle a=2\), akkor \(\displaystyle N=203\) lehet csak, mert nálánál kisebb, de 199-nél nagyobb, 7-tel osztható szám nincs, de \(\displaystyle 203\ne 7\cdot 23\). Végül \(\displaystyle a=1\) lehet. Mivel \(\displaystyle N\ge 100\), ezért \(\displaystyle \overline{1c}\ge 15\), másrészről \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle 7c\) utolsó számjegye megegyezik, ezért \(\displaystyle c=5\) lehet csak. Így \(\displaystyle N=7\cdot 15=105\) valóban megfelel a feladat feltételeinek.

Statisztika:

173 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	79 versenyző.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai