Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 293. feladat (2011. március)

K. 293. Frédi a teheneit egy legelőn legelteti. Minden tehén mindennap ugyanannyi füvet eszik, függetlenül attól, hogy hány tehén van a legelőn. Egyszer Frédi kivitt 6 tehenet a legelőre, és ezek 3 nap alatt teljesen lelegelték az összes füvet, úgyhogy a 3 nap elteltével el kellett onnan hozni a teheneket, hogy a fű vissza tudjon nőni. Amikor a fű visszanőtt az eredeti mennyiségre, akkor Frédi 3 tehenet vitt ki a legelőre, és meglepődve tapasztalta, hogy most 7 nap kellett ahhoz, hogy teljesen lelegeljék az összes füvet a tehenek. Frédi nem értette a dolgot, ezért megkérdezte Bénit, akinek ötöse volt matekból. Béni elmondta Frédinek, hogy egy dologról megfeledkezett, miközben legeltette a teheneket és számolgatta a napokat. Miről feledkezett meg Frédi, és mennyi ideig tartana 1 tehénnek lelegelni ugyanerről a legelőről az összes füvet?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Frédi arról feledkezett meg, hogy a fű folyamatosan nő.

A tehenek naponta \(\displaystyle k\) kazal füvet esznek, miközben a fű \(\displaystyle v\) kazalnyival nő, a legelőn \(\displaystyle N\) kazalnyi fű van a legelés kezdetén. Ezért \(\displaystyle N-3\cdot 6k+3v=0\) összefüggés adható a hat tehén legelésére, míg \(\displaystyle N-7\cdot 3k+7v=0\) összefüggés, amikor csak három tehén legelt. E kettő különbségéből \(\displaystyle 3k-4v=0\), azaz \(\displaystyle v=\frac34 k\). Ez azt is jelenti, hogy a legelőn \(\displaystyle N=\frac{63}4 k\) fű van legelés előtt. Ha egy tehén legeli le \(\displaystyle n\) nap alatt a legelőt, akkor \(\displaystyle N-nk+nv=\frac{63}4 k-nk+n(\frac34 k)=0\), ahonnan \(\displaystyle n=63\). Egy tehén 63 nap alatt legeli le a füvet egyedül.


Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Antalicz Balázs, Arnold Balázs, Árvay Júlia, Balogh Tamás, Csibi Levente, Csóti Annamária, Déri Tamás, Francsics Fanny, Gosztonyi Dorottya, Gömbös Patrik, H. Kovács Bálint, Helfrich Réka, Imre Nóra, Jónás Judit, Kecskeméti Ádám, Kerner Bálint, Kling József, Kolláth Mihály Gábor, Kóródi Brúnó Zoltán, Kovács Bence, Kovács Norbert Krisztián, Kulcsár Ildikó, Lévai Botond Miklós, Makk László, Mihály 930 Ákos, Móricz Tamás, Németh Klára Anna, Pajor Péter, Rácz 413 Bence, Rikker Bálint, Rovó Judit, Sárvári Péter, Sipos 320 László, Somogyvári Kristóf, Suhai Kristóf, Szabó Zsófia Judit, Székely Ádám, Szendrei Judit, Szöllős Kristóf, Tarnay Mátyás, Temesvári Fanni, Tihanyi Dániel, Tóth Kristóf, Tragor Viktória, Várkonyi Balázs, Vető Bálint, Xie Wu Di.
5 pontot kapott:Vörös Zoltán János.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:28 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:14 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai