A K. 332. feladat (2012. március)

K. 332. Vegyünk néhány pozitív egész számot, melyek összege 20. Szorozzuk össze őket, így kapjuk az X számot. Mennyi X maximális értéke?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Keressük meg azt az összeget, amelyből kapott szorzat a legnagyobb: induljunk ki néhány számból, melyek összege 20, és módosítsuk egy másik lehetséges összegre úgy, hogy a számok szorzata nagyobb legyen, mint amiből kiindultunk.

Ha a számok között szerepel 10 vagy annál nagyobb, akkor ezt a számot helyettesíthetjük legalább 5 db 2-essel (és szükség esetén egy további 3-assal), melyek szorzata legalább 32, vagyis így biztosan nagyobb szorzat keletkezik.

A 10-nél kisebb számok esetén könnyű megvizsgálni, hogy 2-esekkel és 3-asokkal helyettesítve őket az összeg állandóságát figyelembe véve az így kapott szorzat nem lesz kisebb, mint a helyettesítés előtt volt (1+2 -> 3 (\(\displaystyle 1\cdot 2 < 3\)); 4 -> 2+2 (\(\displaystyle 4=2\cdot 2\)); 5 -> 2+3 (\(\displaystyle 5<2\cdot 3\)); 6 -> 2+2+2 v. 3+3 -> 3+3 (\(\displaystyle 6<2^3<3^2\)); 7 -> 1+3+3 v. 2+2+3 -> 2+2+3 (\(\displaystyle 7<3\cdot 3<2^2 \cdot 3\)); 8 -> 2+3+3 (\(\displaystyle 8< 2\cdot 3^2\)); 9 -> 3+3+3 (\(\displaystyle 9<3^3\))). Elég tehát csak a 2-esekből és 3-asokból álló szorzatok maximumát keresni. Ha szerepel 3 kettes a szorzatban, akkor őket két hármassal helyettesítve az összeg nem változik, de a szorzat nagyobb lesz. Így a maximumot akkor kapjuk, ha 6 db 3-asról, és 1 db 2-esről van szó. X maximuma tehát \(\displaystyle 3^6\cdot 2 = 1458\).

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	65 versenyző.
5 pontot kapott:	9 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai