![]() |
A K. 333. feladat (2012. március) |
K. 333. Egy háromszög három belső, majd a három külső szögét megfelelő sorrendben leírva egy növekvő számtani sorozat hat egymást követő tagját kapjuk. Hány fokosak a háromszög szögei? (A számtani sorozatban az egymást követő tagok különbsége állandó, azaz a sorozat tagjai egyenletesen növekszenek.)
(6 pont)
A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A háromszög belső szögei közül a legkisebb pont annyival kisebb a középsőnél, mint amennyivel a legnagyobb szög nagyobb a középső nagyságú szögnél; összegük ezért megegyezik a középső nagyságú szög háromszorosával, másrészről \(\displaystyle 180^\circ\). Tehát a háromszög középső nagyságú belső szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Ennek a szögnek a külső szöge \(\displaystyle 120^\circ\). Ha növekvő sorrendbe állítjuk a szögeket, akkor a legkisebb \(\displaystyle 60^\circ -x\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ +x\) (a legnagyobb belső szög), \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\) (legkisebb külső szög), \(\displaystyle 120^\circ\) ... szerint \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\), amiből \(\displaystyle x=20^\circ\). A háromszög szögei tehát \(\displaystyle 40^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 80^\circ\) (és a külső szögek \(\displaystyle 100^\circ\), \(\displaystyle 120^\circ\), \(\displaystyle 140^\circ\)).
Statisztika:
152 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 89 versenyző. 5 pontot kapott: 25 versenyző. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai