A K. 46. feladat (2005. szeptember)

K. 46. Aurumban a megmunkált aranytárgyak értéke tömegük négyzetével arányos. Tolvajok ellopnak egy 100 peták értékű aranytárgyat, és ebből egyforma tömegű medálokat készítenek, melyek értéke összesen 10 peták. A medálokat egy ékszerész megvásárolja, majd belőlük (nem feltétlenül egyforma tömegű) karkötőket készít oly módon, hogy egy-egy karkötőhöz egész számú medált használ fel. A karkötők összértéke 46 peták. Mennyit érnek az egyes karkötők?

(6 pont)

A beküldési határidő 2005. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ellopott aranytárgy tömege 10 egységnyi, mert értéke tömegének négyzetével arányos. Legyen a belőle készített egyforma medálok tömege x egységnyi, ekkor a medálok száma . Az összértéket felírva: , ebből x=1. Tehát a karkötők is egész egységnyi tömegűek, össztömegük 10 egység, értékük (tömegük négyzetének összege) 46 peták. A legnehezebb karkötő nem lehet 6 egységnél nagyobb tömegű, mert értéke nem lehet 46 petáknál több.

Ha a legnehezebb karkötő tömege csak 3 vagy 2 egység, akkor a fennmaradó értéket már nem lehet ennél kisebb számok négyzetösszegeként előállítani, figyelembe véve, hogy a számok összege 10.

A karkötők értéke 1, 9 és 36 peták.

Statisztika:

237 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	105 versenyző.
5 pontot kapott:	43 versenyző.
4 pontot kapott:	38 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai