 |
A K. 529. feladat (2017. január) |
K. 529. Négy kör úgy helyezkedik el, ahogyan az ábrán látható. A körökön belül létrejött tíz tartományba úgy kell beírni az \(\displaystyle 1, 2, 3, \ldots, 10\) számokat, hogy az egyes körökön belüli számok összege egyenlő legyen egymással. Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg?
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az ábrán látható módon az egyes részekbe beírt számokat.
A feltételek miatt: \(\displaystyle a+e+c+f+b+d+j=g+f+b+d+j\), amiből \(\displaystyle a + e + c = g\). Hasonlóan: \(\displaystyle a + d + b = i\) és \(\displaystyle b + f + c = h\).
A belső körben akkor lesz a számok összege a legnagyobb, ha a \(\displaystyle g+h+i \) összeg a lehető legkisebb. Összeadva a három utóbbi egyenletet: \(\displaystyle 2(a + b + c) + (d +e +f) = g + h + i\). Ezek szerint \(\displaystyle g + h + i\) legkisebb értéke \(\displaystyle 2(1 + 2 + 3) + (4 + 5 + 6) = 27\). Ez csak úgy lehetséges, hogy \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\), \(\displaystyle i\) valamilyen sorrendben 8, 9, 10, az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok pedig az 1, 2, 3 valamilyen sorrendben, illetve \(\displaystyle j = 7\).
A belső körben a számok összege ekkor \(\displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28\).
Egy lehetséges megvalósítás:
Ekkor mind a négy körben 28 az összeg, tehát valóban ez a lehetséges legnagyobb összeg.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Acs Imre, Csótai Enikő, Espán Márton, Gém Viktória, Görgei Botond Péter, Györfi Bence, Hegedűs Eszter, Horváth 237 Lili, Juhász 315 Dorka, Kis 194 Károly, Kozák 023 Áron, Kulisity Mátyás, Markó Gábor, Pásti Bence, Réz 426 Dávid, Sándor 111 Réka, Szabó 808 Álmos Levente, Szajkó Bence Gergő, Székelyhidi Klára. 5 pontot kapott: Cseh Dániel, Jelinek Dorka, Kovács Fruzsina Dóra, Kreisz Bálint, Op Den Kelder Júlia, Rátki Luca, Rusvai Miklós, Szilágyi Anna Sára, Veres Kristóf, Vincze Lilla. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 11 dolgozat.
A KöMaL 2017. januári matematika feladatai