![]() |
A K. 607. feladat (2018. december) |
K. 607. Egybevágó egyenlő oldalú háromszögekből szabályos hatszögeket építünk az ábrának megfelelően. Az első hat, a második huszonnégy háromszögből áll.
\(\displaystyle a)\) Hány háromszögből építhetjük meg a hatodik ilyen hatszöget?
\(\displaystyle b)\) 2017 háromszögünk van. Ezekből megépítjük a lehető legnagyobb szabályos hatszöget. Hány háromszögünk marad ki?
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Első megoldás. Kifelé építjük a hatszöget. Először az oldalakra teszünk még egy sornyi háromszöget („belülről kihajtjuk”, majd minden csúcsnál még kettőt beillesztünk.
Az első hatszögben 6 háromszög van.
A másodikban: \(\displaystyle 6 + 6 + 6 \cdot 2 = 24\).
A harmadikban: \(\displaystyle 24 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 54\).
A negyedikben: \(\displaystyle 54 + 6 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 96\).
Az ötödikben: \(\displaystyle 96 + 6 \cdot 7 + 6 \cdot 2 = 150\).
A hatodikban: \(\displaystyle 150 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 2 = 216\).
A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.
Második megoldás. A hatszög csúcsai és középpontja hat (nagyobb) szabályos háromszög csúcsai. A hatodik hatszög oldala hat egység hosszú és egy ilyen szabályos háromszögben ott \(\displaystyle 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 36\) háromszög van. (Másképp: \(\displaystyle 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36\).)
A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.
Harmadik megoldás. Az \(\displaystyle n\). hatszög \(\displaystyle 6n^2\) kis háromszögből áll.
1. indoklás: Egy hatod hatszögben
\(\displaystyle 1+1+2+2+3+3+...+(n-1)+(n-1)+n=2\cdot\frac{((1+(n-1))\cdot(n-1)}{2}+n=n\cdot n=n^2\)
kis háromszög van.
2. indoklás: Egy hatod hatszögben
\(\displaystyle 1+3+5+...+(2n-1)=2\cdot\frac{n\cdot(1+2n-1)}{2}=n^2\)
kis háromszög van.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2017 : 6 \approx 336\). A \(\displaystyle 366\)-nál kisebb legnagyobb négyzetszám a \(\displaystyle 18^2=324\), így \(\displaystyle 324 \cdot 6 = 1944\) kis háromszögből áll a \(\displaystyle 18\). hatszög és így \(\displaystyle 2017-1944=73\) kis háromszög marad ki.
Statisztika:
180 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 57 versenyző. 5 pontot kapott: 43 versenyző. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 20 dolgozat.
A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai