A K. 607. feladat (2018. december)

K. 607. Egybevágó egyenlő oldalú háromszögekből szabályos hatszögeket építünk az ábrának megfelelően. Az első hat, a második huszonnégy háromszögből áll.

\(\displaystyle a)\) Hány háromszögből építhetjük meg a hatodik ilyen hatszöget?

\(\displaystyle b)\) 2017 háromszögünk van. Ezekből megépítjük a lehető legnagyobb szabályos hatszöget. Hány háromszögünk marad ki?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Első megoldás. Kifelé építjük a hatszöget. Először az oldalakra teszünk még egy sornyi háromszöget („belülről kihajtjuk”, majd minden csúcsnál még kettőt beillesztünk.

Az első hatszögben 6 háromszög van.

A másodikban: \(\displaystyle 6 + 6 + 6 \cdot 2 = 24\).

A harmadikban: \(\displaystyle 24 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 54\).

A negyedikben: \(\displaystyle 54 + 6 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 96\).

Az ötödikben: \(\displaystyle 96 + 6 \cdot 7 + 6 \cdot 2 = 150\).

A hatodikban: \(\displaystyle 150 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 2 = 216\).

A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.

Második megoldás. A hatszög csúcsai és középpontja hat (nagyobb) szabályos háromszög csúcsai. A hatodik hatszög oldala hat egység hosszú és egy ilyen szabályos háromszögben ott \(\displaystyle 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 36\) háromszög van. (Másképp: \(\displaystyle 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36\).)

A hatodik hatszög \(\displaystyle 216\) kis háromszögből áll.

Harmadik megoldás. Az \(\displaystyle n\). hatszög \(\displaystyle 6n^2\) kis háromszögből áll.

1. indoklás: Egy hatod hatszögben

\(\displaystyle 1+1+2+2+3+3+...+(n-1)+(n-1)+n=2\cdot\frac{((1+(n-1))\cdot(n-1)}{2}+n=n\cdot n=n^2\)

kis háromszög van.

2. indoklás: Egy hatod hatszögben

\(\displaystyle 1+3+5+...+(2n-1)=2\cdot\frac{n\cdot(1+2n-1)}{2}=n^2\)

kis háromszög van.

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2017 : 6 \approx 336\). A \(\displaystyle 366\)-nál kisebb legnagyobb négyzetszám a \(\displaystyle 18^2=324\), így \(\displaystyle 324 \cdot 6 = 1944\) kis háromszögből áll a \(\displaystyle 18\). hatszög és így \(\displaystyle 2017-1944=73\) kis háromszög marad ki.

Statisztika:

180 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	57 versenyző.
5 pontot kapott:	43 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	23 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	20 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai