Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 616. feladat (2019. február)

K. 616. Sok egész számot fel lehet írni három egész szám négyzetének összegeként. Például: \(\displaystyle 1=1^2+0^2+0^2\), \(\displaystyle 14=3^2+2^2+1^2\), \(\displaystyle 20=4^2+2^2+0^2\). Mutassuk meg, hogy az 1991 nem írható fel három egész szám négyzetének összegeként.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás.

\(\displaystyle n\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka 0 1 2 3 4 5 6 7
\(\displaystyle n^2\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka 0 1 4 1 0 1 4 1

Tehát egy szám négyzete \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 4\) maradékot adhat. Ebből következik, hogy három négyzetszám összege \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 6\) maradékot adhat. Mivel \(\displaystyle 1991\) maradéka \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 7\), így nem írható fel három négyzetszám összegeként.


Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Barát Benedek, Biszak Bence, Cserkuti Sándor, Diczházi Noémi, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Erős 135 Milán, Ferencz Lilla, Flódung Áron , Hamar János, Hamvas Johanna Kata, Héjja Márton, Hoffmann Szabolcs, Imreh Lili, János Szabolcs, Kalocsai Zoltán, Keresztes Balázs, Kun Timon, Leopold Rozvita, Márky Anna, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Miklóssy Katinka, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rács Zsóka, Reviczki Roland, Riba Dániel, Richlik Bence, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szabó 003 Szabina, Szirmai Dénes, Szlobodics Soma, Valkai Máté, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter.
5 pontot kapott:Domokos Lóránt, Sipos Teodor.
4 pontot kapott:6 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:7 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai