A K. 653. feladat (2020. február)

K. 653. Tudjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=b\) és \(\displaystyle a, b > 1\) egész számok. Adjuk meg \(\displaystyle a+b\) minimális értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Háromszor négyzetre emelve mindkét oldalt:

\(\displaystyle \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=b,\)

\(\displaystyle a\sqrt{a\sqrt{a}}=b^2,\)

\(\displaystyle a^2a\sqrt a=b^4,\)

\(\displaystyle a^6a=b^8,\)

\(\displaystyle a^7=b^8.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle a=c^8\) és \(\displaystyle b=c^7\), ahol \(\displaystyle c\) valamilyen egész szám. (Ekkor \(\displaystyle a^7=b^8=c^{7\cdot8}=c^{56}\).) Mivel a lehető legkisebb összeget keressük, \(\displaystyle c=2\) és ekkor \(\displaystyle a = 2^8\) és \(\displaystyle b = 2^7\). Így \(\displaystyle a + b = 256 + 128 = 384\).

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Árok Anna, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Csáki Borbála, Cynolter Dorottya, Deme Erik, Dévényi Róbert , Fehér Anna, Fekete Patrik, Ferencz Mátyás, Gardev Dániel, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Havasi Marcell Milán, Herendi Réka, Holyba Gergő, Kaltenecker Balázs Bence, Karádi Virág, Kedves Benedek János, Képiró Árpád Zsolt, Kiss-Beck Tamara, Kmeczó András, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Morvai Eliza, Murai Dóra Eszter, Murár András , Nagy 999 Csanád, Nagy Flóra, Nagy Mihály Gyula, Ökördi Laura, Purgel Márton, Radzik Réka, Sallai Péter, Schleier Anna , Sipeki Márton, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Szedlák Balázs, Szirtes Hanna, Takács Emese Flóra, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Vaszilievits-Sömjén Villő, Viczián Dániel, Visontai Barnabás Péter, Waldhauser Miklós, Welther Károly.
5 pontot kapott:	17 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai