A K. 746. feladat (2022. december)

K. 746. Egy kis országban bevezették, hogy a földgázfogyasztásért az alábbiak szerint kell fizetni: Az új elszámolás bevezetését követő első évben az első 1700 \(\displaystyle \mathrm{m}^3\) gáz ára 100 peták/\(\displaystyle \mathrm{m}^3\), a további fogyasztás ára 750 peták/\(\displaystyle \mathrm{m}^3\). A kedvezményesen vásárolható mennyiséget az országos éves átlagfogyasztás alapján állapítják meg minden évben, az előző évi fogyasztási adatok alapján. Hétköznapi János ebben az országban él, és egy évig használja a gázt ezekkel a feltételekkel. Tekintettel azonban a túl magas fizetendő összegre elhatározza, hogy takarékoskodni fog, és kevesebb gázt használ el. Sikerül is az éves gázfogyasztását 10%-kal csökkentenie a következő évre, azonban, mivel mindenki hasonlóan gondolkodott, az éves gázfogyasztás országos átlaga 15%-kal csökkent. Hétköznapi János azt vette észre, hogy a második évben hiába fogyasztott kevesebb gázt, mégis többet kellett fizetnie (az egész évet tekintve), mint az első évben. Mennyi lehetett Jánosunk első éves gázfogyasztása?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A második évben az \(\displaystyle 1700\) m\(\displaystyle ^3\)-es országos átlagfogyasztás \(\displaystyle 15\)%-kal csökkent, tehát \(\displaystyle 0,85\cdot1700=1445\) lett. Ha János 10%-kal csökkentett fogyasztása \(\displaystyle 1445\) m\(\displaystyle ^3\) alatt lett volna, akkor az első évben legfeljebb \(\displaystyle 1605,56\) m\(\displaystyle ^3\) gázt fogyasztott volna el, és így mindkét évben a kedvezményes gázmennyiségen belül maradt volna, vagyis a kevesebb fogyasztással csökkent volna a második évi számlája. Legyen \(\displaystyle x\) m\(\displaystyle ^3\) a János által az első évben elfogyasztott gáz mennyisége. A fentiek szerint két esetet kell vizsgálnunk:

1. eset: \(\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700\), mert ekkor az első évben csak kedvezményes áron fogyasztott gázt, míg a második évben már a kedvezményes határ felett is vásárolt, a megnövelt áron.

2. eset: \(\displaystyle x > 1700\), mert ekkor mindkét évben fogyasztott a kedvezményes árnál drágább gázból is.

1. eset vizsgálata: Ha \(\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700\), akkor János az első évben \(\displaystyle x\cdot100\) petákot, a második évben pedig \(\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\) petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy \(\displaystyle x\cdot100 < (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\). Rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x > 1633,48\).

2. eset vizsgálata: Ha \(\displaystyle x > 1700\), akkor János az első évben \(\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100\) petákot, a második évben \(\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\) petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy \(\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100<(0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\). Rendezve az egyenlőtlenséget \(\displaystyle 75x<165\,750\), azaz \(\displaystyle x<2210\).

Tehát ha János a második évben többet fizetett, mint az első évben, akkor a fogyasztása \(\displaystyle 1633,48\) és \(\displaystyle 2210\) m\(\displaystyle ^3\) közé esett az első évben.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csikai Anna Alida, Denke-Pataki Dávid, Derűs Ádám , Domján István, Gergely-Szóráth Dávid, Horváth Imre, Illés Hanna, Komlósdi Sára, Kökény Kristóf, Sipos Márton, Stingli Zsuzsanna, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó Zétény Attila, Tóth 207 Bence.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai