Problem P. 5057. (October 2018)
P. 5057. A small object of mass \(\displaystyle m=0.5\) kg and another of mass \(\displaystyle 3m\) are placed to an inclined plane of angle of elevation of \(\displaystyle \alpha=30^\circ\). The two small objects are attached with a negligible-mass rigid rod of length \(\displaystyle d=50\) cm. The top part of the slope is frictionless, whilst on the bottom part of the slope the coefficient of friction is \(\displaystyle \mu=0.2\).
Initially the object of mass \(\displaystyle m\) was at a distance of \(\displaystyle L=40\) cm from the boundary of that region where there is friction, and at a distance of \(\displaystyle s=120\) cm from the bottom of the plane. The system of the two (point-like) objects is released.
\(\displaystyle a)\) Give the force exerted in the rod as a function of the distance covered.
\(\displaystyle b)\) How long does it take for the object of mass \(\displaystyle m\) to reach the bottom of the inclined plane?
(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A mozgás három szakaszra osztható.
1. Ha a megtett út kisebb, mint \(\displaystyle L\), mindkét test a lejtő súrlódásmentes részén mozog. A rendszer gyorsulása
\(\displaystyle a_1=g\sin\alpha\approx 4{,}905~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)
a mozgás ideje pedig
\(\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}}\approx 0{,}404~\rm s.\)
A rendszer sebessége ezen szakasz végén
\(\displaystyle v_1=a_1t_1\approx 1{,}98~\frac{\rm m}{\rm s }.\)
A mozgás ezen szakaszában a rúdban ható erő mindvégig nulla.
2. A második szakaszban az \(\displaystyle m\) tömegű test már súrlódva, a \(\displaystyle 3m\) tömegű súrlódásmentesen mozog. A mozgásegyenletek (a lejtő mentén lefelé mutató irányt tekintve pozitívnak):
\(\displaystyle mg(\sin\alpha-\mu \cos\alpha)+K=ma_2,\)
\(\displaystyle 3mg \sin\alpha-K=3ma_2.\)
A két egyenlet összegéből
\(\displaystyle a_2=g(\sin\alpha-\frac{\mu}{4}\cos\alpha)\approx 4{,}48~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)
a rudat feszítő (összenyomó) erő:
\(\displaystyle K=mg\frac{3\mu}{4}\cos\alpha\approx 0{,}64~\rm N.\)
A rendszer sebessége ezen szakasz végén (pl. a munkatételből számolva):
\(\displaystyle v_2=\sqrt{v_1^2+2a_2d}\approx 2{,}90~\frac{\rm m}{\rm s},\)
a mozgás ideje pedig a második szakaszban:
\(\displaystyle t_2=\frac {v_2-v_1}{a_2}= 0{,}205~ {\rm s}.\)
3. A harmadik, \(\displaystyle s-L-d=0{,}3~\rm m\) hosszú szakaszon a rendszer gyorsulása:
\(\displaystyle a_3=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\approx 3{,}21~\frac{\rm m}{\rm s^2 },\)
a végsebesség pedig
\(\displaystyle v_3=\sqrt{v_2^2+2a_3(s-L-d)}\approx3{,}21~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
A mozgás ideje ezen szakaszon:
\(\displaystyle t_3=\frac{v_3-v_2}{a_3}= 0{,}10~ {\rm s},\)
és a rúdban most nem alakul ki mechanikai feszültség.
A mozgás teljes időtartama: \(\displaystyle T=t_1+t_2+t_3\approx0{,}71~ \rm s.\)
Statistics:
89 students sent a solution. 5 points: Bekes Barnabás, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csépányi István, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hartmann Alice, Jánosik Áron, Kardkovács Levente, Kárpáti Kristóf, Köpenczei Csanád, Köpenczei Csenge, Kupás Lőrinc, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Murányi Albert, Nagyváradi Dániel, Olosz Adél, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Schäffer Bálint, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Tafferner Zoltán, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Varga Vázsony, Viczián Anna, Virág Levente. 4 points: 24 students. 3 points: 16 students. 2 points: 4 students. 1 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, October 2018