Problem P. 5105. (February 2019)
P. 5105. There are three metal spheres of radius \(\displaystyle R\) in vacuum. Their centres are collinear. The distance of the middle sphere from the other two spheres is \(\displaystyle d\gg R\). The temperature values of the two spheres at the sides are constant: one of them has temperature \(\displaystyle T_1\), and the other has \(\displaystyle T_2\). What is the steady-state temperature of the middle sphere if all the spheres can be considered black bodies?
(5 pont)
Deadline expired on March 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A Stefan–Boltzmann-törvény szerint egy \(\displaystyle T\) abszolút hőmérsékletű, abszolút fekete test felületegységenként és időegységenként \(\displaystyle E=\sigma T^4\) energiát sugároz ki, ahol \(\displaystyle \sigma\) egy állandó. Alkalmazzuk ezt a törvényt a feladatban szereplő 3 fémgömbre. A szélső gömbök által (gömbszimmetrikusan) kisugárzott energiának egy kis hányada jut a középső gömbre, amelynek állandósult \(\displaystyle T\) hőmérsékletét az határozza meg, hogy a rá eső és az általa kisugárzott összes energia egymással megegyezik:
\(\displaystyle \sigma T_1^4 \, \frac{R^2\pi}{4\pi d^2}+\sigma T_2^4\, \frac{R^2\pi}{4\pi d^2} =\sigma T^4,\)
ahonnan
\(\displaystyle T=\sqrt[4]{T_1^4+T_2^4}\sqrt{\frac{R}{2d}}.\)
Statistics:
39 students sent a solution. 5 points: Andorfi István, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Csépányi István, Czett Mátyás, Elek Péter, Fülöp Sámuel Sihombing, Hartmann Alice, Havasi Márton, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Sugár Soma, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna. 4 points: Bonifert Balázs, Boros Máté, Fiam Regina, Sal Dávid, Vaszary Tamás. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, February 2019