Problem P. 5113. (March 2019)

P. 5113. An 80-kg man is walking up in a tower built on the Equator of the Earth. How much does the apparent weight of the man decrease in each metre of ascent?

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete (inerciarendszerben) az \(\displaystyle M\) tömegű, \(\displaystyle R\) sugarú Föld ,,talajszintje'' felett \(\displaystyle h=1~\)m magaságban fekvő körpályán:

\(\displaystyle \gamma\frac{mM}{(R+h)^2}-G(R+h)=m(R+h)\omega^2,\)

ahonnan a \(\displaystyle h\) magasságban mérhető súly

\(\displaystyle G(R+h)=m\left(\gamma\frac{M}{(R+h)^2}-(R+h)\omega^2\right).\)

A súlyváltozás a talajszinten mérhető súlyhoz képest (\(\displaystyle h\ll R\) magasságkülönbség esetén):

\(\displaystyle \Delta G=G(R+h)-G(R)\approx m\left( -2 \gamma \frac{M}{R^3}-\omega^2\right)\cdot h= m\left( -2\frac{g_0}{R}-\omega^2\right)\cdot h,\)

ahol \(\displaystyle g_0=9{,}8\,\rm m/s^2\) a nehézségi gyorsulás az Egyenlítőn lévő torony aljánál. Mivel \(\displaystyle g_0/R\gg \omega^2\), a súlyváltozást így számolhatjuk:

\(\displaystyle \frac{\Delta G}{G}=-2\frac{h}{R},\)

vagyis a toronyban felfelé haladó ember súlya méterenként kb. \(\displaystyle 3\cdot10^{-7}\)-ed résznyivel csökken. Egy 80 kg tömegű embernél ez a csökkenés \(\displaystyle 2{,}5\cdot10^{-4}\) N, ami egy 25 mg tömegű test súlyával egyezik meg.

Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete András Albert, Fekete Levente, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Mácsai Dániel, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Nagy Balázs, Sal Dávid, Schneider Anna, Sepsi Csombor Márton, Simon Tamás, Szabó 314 László, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Viczián Anna.
3 points:	33 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2019