Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5476. feladat (2023. március)

P. 5476. Három egyforma, \(\displaystyle A\) területű fémlemezt helyezünk el egymással párhuzamosan. A lemezek közötti távolság kicsi a lemezek méretéhez képest.

\(\displaystyle a)\) Mekkora az elektromos térerősség a lemezek között, ha a bal oldali lemezre \(\displaystyle +Q\), a középsőre \(\displaystyle +2Q\), a jobb oldalira pedig \(\displaystyle +3Q\) töltést juttatunk?

\(\displaystyle b)\) Mekkora az elektromos térerősség a lemezek között, ha a bal oldali lemezre \(\displaystyle +Q\), a középsőre \(\displaystyle -2Q\), a jobb oldalira pedig \(\displaystyle +3Q\) töltést juttatunk?

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során a széleffektusoktól mindig eltekintünk. Ismeretes (a Gauss-tétel alapján belátható), hogy amennyiben két párhuzamos, egymáshoz közel fekvő, sík fémlemez egyikének \(\displaystyle +Q\), másikának \(\displaystyle -Q\) töltést adunk, akkor az ellentétes előjelű töltések a lemezek belső oldalán helyezkednek el, és a lemezek közötti térben \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{A}\) nagyságú, homogén, a lemezekre merőleges irányú elektromos teret eredményeznek, ahol \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}\) a vákuum dielektromos állandója (permittivitása), \(\displaystyle A\) a lemezek területe, továbbá \(\displaystyle k\) a Coulomb-törvényben szereplő állandó.

A megoldásban kihasználjuk, hogy elektrosztatikus esetben a fémek belsejében a térerősség nulla, így a lemezek szemben lévő belső felületein ugyanakkora nagyságú pozitív és ugyanakkora negatív töltéseknek kell egymással ,,szembenézniük''. Ha összetoljuk a lemezeket, akkor a belső felületeken lévő töltések kioltják egymást, és csak a külső felületeken marad töltés, mindkét oldalon ugyanannyi, mégpedig a rendszer teljes eredő töltésének fele-fele. Ha újra széthúzzuk a lemezeket, akkor a belső felületeken nem marad töltés, viszont amennyiben a belső felületekre \(\displaystyle +q\) és \(\displaystyle -q\) töltéseket helyezünk, akkor ez nem befolyásolja a külső felületeken lévő töltéseket.

A fentiek alapján már gyorsan eljuthatunk a megoldásig. Az \(\displaystyle a)\) esetben az össztöltés \(\displaystyle Q+2Q+3Q=6Q\), vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán \(\displaystyle +3Q\) töltés helyezkedik el. Ha a \(\displaystyle +Q\) töltést a bal oldali lemezre juttattuk, és a rendszert összerakva ennek külső oldalára \(\displaystyle +3Q\) töltés kerül, akkor a lemez belső oldalának \(\displaystyle -2Q\) töltésűnek kell lenni. Eszerint a középső lemez bal oldalára \(\displaystyle +2Q\) jut, és a bal oldali térrészben a térerősség balra mutat, nagysága pedig \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}\). A középső lemez jobb oldálára ezek után már nem jut töltés, ott a térerősség 0. Ez egybevág azzal, hogy a jobb oldali lemez \(\displaystyle 3Q\) töltése teljes mértékben a külső felületre kerül.

A \(\displaystyle b)\) esetben az össztöltés \(\displaystyle Q-2Q+3Q=2Q\), vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán \(\displaystyle +Q\) töltés helyezkedik el. Ilyenkor a bal oldali lemez belső felületére nem jut töltés, a bal oldali térrészben lesz a térerősség 0. A középső lemez teljes \(\displaystyle -2Q\) töltése a jobb oldalára kerül, és így a jobb oldali térrészben \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}\) nagyságú térerősség lesz, ami az \(\displaystyle a)\) esettel megegyezően balra mutat.

Megállapíthatjuk tehát, hogy az \(\displaystyle a)\) és a \(\displaystyle b)\) esetben a lemezek közötti térrészekben a térerősség szinte ugyanolyan lesz, a különbség csak annyi, hogy az \(\displaystyle a)\) esetben a bal oldali térrészben lesz elektromos mező, a jobb oldaliban nem, míg a \(\displaystyle b)\) esetben csak a jobb oldaliban lesz elektromos tér (nagyság és irány szerint ugyanakkora, mint az \(\displaystyle a)\) esetben). A két eset között a külső térben van különbség, mert az \(\displaystyle a)\) esetben a lemezeken kívüli tér háromszor akkora, mint a \(\displaystyle b)\) esetben.

Megjegyzés: A feladatot a szuperpozíciós elv és a töltésmegmaradás segítségével is megoldhatjuk. Egy \(\displaystyle Q/A\) felületi töltéssűrűségű síklap mindkét oldalán \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{2A}\) nagyságú és ellentétes irányú a térerősség. Az egyes síkokon lévő töltések által keltett elektromos tereknek úgy kell szuperponálódniuk, hogy a fémlemezek belsejében nulla térerősséget eredményezzenek.


Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Barna Márton, Bogdán Benedek, Csiszár András, Csornai-Metz Mátyás , Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Halász Henrik, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Szabó Zsombor, Tatár Ágoston, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:Beke Botond, Csernyik Péter, Dandé Márk Bence, Hegedűs Máté Miklós, Kis Márton Tamás.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai