Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


K. 624. A 0–9-ig terjedő egész számokat elhelyezzük valamilyen sorrendben egy egyenes vonal mentén.

\(\displaystyle a)\) Adjunk meg egy olyan elrendezést, amelyben bármely három szomszédos szám összege 15-nél kisebb.

\(\displaystyle b)\) Megvalósítható-e ugyanez a típusú elrendezés, ha a 0-t kihagyjuk?

(6 pont)

megoldás


K. 625. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyben minden számjegy pontosan annyiszor szerepel, amennyi az értéke?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 626. Az alábbi táblázat egy négycsapatos, körmérkőzéses focibajnokság eredményeit tartalmazza a csapatok neve szerinti ABC-rendben. Minden csapat mindegyikkel egyszer játszott. Egy-egy mérkőzés győztese 3 pontot, a vesztes 0-t, döntetlenért mindkét csapat 1-1 pontot kapott.

CsapatPontLőtt gólokKapott gólok
Balláb FC84
Fejes FC146
Jobbláb FC44
Sprint FC146

Tudjuk, hogy a Balláb–Jobbláb mérkőzés eredménye \(\displaystyle 3:1\) lett, és hogy a Fejes FC minden mérkőzésén lőtt gólt. Mennyi lett az egyes mérkőzések eredménye?

(6 pont)

megoldás


K. 627. Egy osztályból a tanár sorsolással választ egy felelőt. Annak a valószínűsége, hogy fiút választ, \(\displaystyle 2/3\)-a annak, hogy lányt választ. Mennyi a lányok aránya az osztálylétszámhoz képest?

(6 pont)

megoldás


K. 628. Zoli négy egyforma téglalap alakú papírdarabból egy nagyobb téglalapot állított össze, a papírokat átfedés nélkül, hézagmentesen az asztalra helyezve. A kapott téglalap területe \(\displaystyle 1200~\mathrm{cm}^{2}\). Tudjuk, hogy a papírokat úgy helyezte el, hogy nem vihető át bármelyik papírdarab bármelyik papírdarabra csak eltolás segítségével. Mekkora a nagy téglalap kerülete?

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


C. 1553. Adjuk meg az \(\displaystyle \left(x^{12}+\frac1{x^{18}}\right)^{25}\) kifejezés konstans tagját.

(5 pont)

megoldás


C. 1554. Egy téglalapot, amelynek egyik oldala \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}\)-szöröse a másiknak, átdaraboltunk egy vele egyenlő területű négyzetté. Hányszorosa a téglalap átlója a négyzetének?

(5 pont)

megoldás


C. 1555. Oldjuk meg a pozitív prímszámok körében az

\(\displaystyle x+y^2=4z^2 \)

egyenletet.

(5 pont)

megoldás


C. 1556. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló belső szögfelező a szemközti oldalt a \(\displaystyle P\) pontban metszi. A \(\displaystyle P\) pont távolsága az oldalaktól \(\displaystyle \frac{24}{11}\), továbbá \(\displaystyle AC=6\) és \(\displaystyle BC=5\). Határozzuk meg az \(\displaystyle AB\) oldal hosszát.

(5 pont)

megoldás


C. 1557. A kétjegyű pozitív egész számok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a két számnak van közös számjegye?

(5 pont)

megoldás


C. 1558. Hány közös pontja van az \(\displaystyle x^2+y^2=1\) egyenletű körnek az \(\displaystyle y= ax^2-1\) egyenletű parabolával a \(\displaystyle 0\)-tól különböző \(\displaystyle a\) paraméter értékétől függően?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1559. Egy tetraéder alaplapja szabályos háromszög, síkba kiterített palástja pedig olyan trapéz, melynek oldalai 10, 10, 10 és 14 egység hosszúak. Adjuk meg a tetraéder éleinek összhosszát és felszínét.

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


B. 5038. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) szabályos nyolcszög belsejében felvettünk egy \(\displaystyle P\) pontot. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle CDP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle GHP\) háromszögek területeinek összege megegyezik a \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle FGP\) és \(\displaystyle HAP\) háromszögek területeinek összegével.

(3 pont)

megoldás


B. 5039. Egy \(\displaystyle 2019\times 2019\)-es táblázat mindegyik mezőjébe vagy \(\displaystyle (+1)\)-et, vagy \(\displaystyle (-1)\)-et írunk, majd kiszámoljuk az összes sor- és oszlopösszeget. Legfeljebb hány különböző számot kaphatunk?

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás


B. 5040. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalának belső pontja \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle AD\) oldalának belső pontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle E\) pontban állítsunk merőlegest a \(\displaystyle CE\) egyenesre, az \(\displaystyle F\) pontban pedig állítsunk merőlegest a \(\displaystyle CF\) egyenesre. A két merőleges metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle CEF\) háromszög területe fele a \(\displaystyle BCDEF\) ötszög területének. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle M\) pont rajta van a négyzet \(\displaystyle AC\) átlóján.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5041. Egy \(\displaystyle n \times n\)-es táblázat mezőire egy-egy valós számot írunk. Egy ilyen táblázatot nullnégyzetnek hívunk, ha bármely legalább \(\displaystyle 2 \times 2\)-es négyzet alakú részében (így magában az egész táblázatban is) az elemek összege 0 (az ábrán egy \(\displaystyle 3\times3\)-as példa látható).

2 -3 4
-4 5 -6
1 -2 3

Mekkora a lehető legnagyobb \(\displaystyle n\), amelyre van olyan \(\displaystyle n \times n\)-es nullnégyzet, amelynek nem minden mezőjén 0 áll?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5042. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögről tudjuk, hogy nem trapéz, valamint, hogy \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlói egyenlő hosszúak. Az átlók metszéspontját jelölje \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABM\) és \(\displaystyle CDM\) körök második, \(\displaystyle M\)-től különböző metszéspontja a \(\displaystyle BMC\) szög felező egyenesére esik.

(4 pont)

megoldás


B. 5043. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\) halmaznak páratlan sok olyan nemüres részhalmaza van, amelyben az elemek átlaga egész szám.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5044. Adott az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának belsejében a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldal belsejében az \(\displaystyle E\) pont; a \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle BCM\) háromszög területe legyen \(\displaystyle x\), az \(\displaystyle EDM\) háromszög területe pedig \(\displaystyle y\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle T_{ABC}\ge x \frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}. \)

(6 pont)

megoldás


B. 5045. Mely pozitív egész \(\displaystyle n\) számok esetén van az első \(\displaystyle n\) pozitív egész számnak olyan \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) sorrendje, hogy az \(\displaystyle a_1+1,a_2+2,\dots,a_n+n\) számok mind teljes hatványok? (Egy számot teljes hatványnak nevezünk, ha előáll \(\displaystyle a^b\) alakban, ahol \(\displaystyle a, b\ge 2\) egész számok.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


A. 755. Bizonyítsuk be, hogy minden középpontosan szimmetrikus sokszöget át lehet darabolni négyzetté olyan módon, hogy véges sok sokszög alakú darabot használunk, és az egyes darabokat csak eltolni lehet. (Azaz az eredeti sokszög felbontható az \(\displaystyle A_1, A_2,\ldots, A_n\) sokszögekre, egy négyzet felbontható a \(\displaystyle B_1, B_2,\ldots, B_n\) sokszögekre úgy, hogy \(\displaystyle 1\le i \le n\) esetén \(\displaystyle A_i\) és \(\displaystyle B_i\) egymás eltoltja.)

(7 pont)


A. 756. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) (valós számokon értelmezett, valós értékű) függvényt, melyre teljesülnek a következők:

\(\displaystyle (i)\) \(\displaystyle f(x+1)=f(x)+1\);

\(\displaystyle (ii)\) \(\displaystyle f(x^2)= \big(f(x)\big)^2\).

(Romanian Masters of Mathematics feladat alapján)

(7 pont)


A. 757. Ha \(\displaystyle n\) nemnegatív egész szám, jelölje \(\displaystyle H(n)\) a pozitív egész számoknak azon részhalmazát, amelynek \(\displaystyle i\) pontosan akkor eleme, ha az \(\displaystyle n\) kettes számrendszerbeli alakjában a hátulról \(\displaystyle i\). jegy 1-es.

Két játékos, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) a következő játékot játssza: először \(\displaystyle A\) választ egy \(\displaystyle k\) pozitív egész számot, ezután \(\displaystyle B\) választ egy pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, melyre \(\displaystyle 2^n\ge k\). Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle \{0,1,\ldots,2^n-1\}\) halmaz, \(\displaystyle Y\) pedig a \(\displaystyle \{0,1,\ldots,2^{n+1}-1\}\) halmaz. A \(\displaystyle k\) körből álló játékot \(\displaystyle A\) kezdi, és egy körben \(\displaystyle A\) választ egy számot az \(\displaystyle X\) vagy az \(\displaystyle Y\) halmazból, majd \(\displaystyle B\) választ egy számot a másik halmazból. \(\displaystyle 1\le i \le k\) esetén jelölje \(\displaystyle x_i\) az \(\displaystyle i\) körben az \(\displaystyle X\) halmazból választott számot, \(\displaystyle y_i\) pedig jelölje az \(\displaystyle i\). körben az \(\displaystyle Y\) halmazból választott számot.

A játékot akkor nyeri meg \(\displaystyle B\), ha minden \(\displaystyle 1\le i\le k\) és \(\displaystyle 1\le j\le k\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle x_i<x_j\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle y_i<y_j\), továbbá \(\displaystyle H(x_i)\subset H(x_j)\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle H(y_i)\subset H(y_j)\), egyébként \(\displaystyle A\) nyer.

Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Javasolta: Bodnár Levente (Cambridge)

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)