 |
A B. 4536. feladat (2013. április) |
B. 4536. Adott az ABC háromszög és síkjában a P pont. E pontnak a háromszög magasságvonalaira eső merőleges vetületei A1, B1 és C1. Határozzuk meg P-t, ha AA1=BB1=CC1, és adjuk meg e szakaszok közös hosszát.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.
Megoldási ötlet: Hol vannak azok a pontok, amikor pl. AA1=BB1?
Megoldásvázlat: Legyen A', B' és C' az A, B, illetve C tükörképe a szemközti oldal középpontjára. Megmutatjuk, hogy AA1=BB1 akkor és csak akkor teljesül, ha P az A'B'C' háromszög valamelyik C-ből induló (belső vagy külső) szögfelezőjén van.
Az AA1 szakasz merőleges BC-re és a vele párhuzamos, A-n átmenő B'C' egyenesre, továbbá PA1-re. Ezért az AA1 szakasz hossza azonos a P pont és a B'C' egyenes távolságával. Hasonlóképpen, BB1 egyenlő a P pont és az A'C' egyenes távolságával. Ez a két távolság akkor egyenlő egymással, ha P a B'C' és A'C' egyenesek valamelyik szögfelezőjén van.
Ugyanígy, a P pontnak illeszkednie kell az A'B'C' háromszög valamelyik A'-ból, és valamelyik B-ből induló szögfelezőjére is. Összesen négy ilyen pont létezik: az A'B'C' háromszög beírt és hozzáírt közeinek középpontjai.
Statisztika:
36 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Fehér Zsombor, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Williams Kada. 4 pontot kapott: Nagy-György Pál, Szalai 213 Orsolya, Zarándy Álmos. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai