Szerk
P. 5678. Egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugó egyik végét egy lift mennyezetéhez rögzítjük, másik végére pedig egy \(\displaystyle m\) tömegű testet akasztunk. Kezdetben a test egyensúlyban van. Egyszer csak a lift állandó \(\displaystyle a\) gyorsulással elindul felfelé, majd \(\displaystyle \tau\) idő után a gyorsulás megszűnik és a felvonó állandó sebességgel halad tovább. Mekkora amplitúdójú mozgást végez ezután a test?
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.
a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?
b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?
A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle m\) tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy \(\displaystyle R\) sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót \(\displaystyle C\) végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\)-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.
a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?
b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége \(\displaystyle v_1\), a másiké \(\displaystyle v_2\), és az egymástól való legkisebb távolságuk \(\displaystyle d_0\). Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): \(\displaystyle m=24~\mathrm{g}\), hossza \(\displaystyle L=48~\mathrm{mm}\), átmérője (digitális tolómérővel mérve): \(\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}\), amiből a sugara: \(\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}\). A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\parallel\), illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.
P. 5672. Az Egyenlítőn állva, éppen a fejünk felett halad át egy műhold, amely a Föld felszínétől \(\displaystyle 400~\mathrm{km}\)-re levő pályán kering. Legfeljebb mennyi ideig láthatjuk a műholdat?
Közli: Németh László, Fonyód
P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban a két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.
a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?
b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?
M. 443. Mobiltelefon fényérzékelőjét használva mutassuk meg, hogy a fényintenzitás inverz négyzetesen függ egy pontszerű fényforrástól mért távolságtól! Hogyan válasszuk a kísérleti körülményeket ahhoz, hogy minél pontosabban tudjuk igazolni ezt az összefüggést?
Közli: Vadász Gergely, Solymár
P. 5669. Egy \(\displaystyle R=5~\mathrm{cm}\) sugarú, \(\displaystyle m=0{,}5~\mathrm{kg}\) tömegű, homogén anyageloszlású tárcsa \(\displaystyle r=0{,}5~\mathrm{cm}\) sugarú tengelyéhez egy \(\displaystyle L=20~\mathrm{cm}\) hosszúságú, vékony fonál egyik végét rögzítjük, és a fonál \(\displaystyle L/2\) hosszúságú részét a tengelyre feltekerjük. A függőleges fonál másik végét rögzített helyzetben tartva a tárcsát elengedjük.
a) Mekkora erő feszíti a fonalat az egyenletesen gyorsuló tárcsa (,,jojó'') mozgása közben?
b) Mekkora a tárcsa tengelyének sebessége a fonál kitekeredésének pillanatában?
c) A tárcsa függőleges mozgásának megfordulásakor a fonalat feszítő erő egy rövid időre megnő (a tárcsa ,,ránt egyet'' a fonálon). Becsüljük meg a fonálerő átlagos értékét a rántás alatt!
P. 5667. Az ábrán egy izzólámpa látható két homorú tükör között. A jobb oldali tükör párhuzamos fénynyalábot állít elő, míg a bal oldali, kis méretű tükör megakadályozza, hogy az izzólámpa fényének jelentős része kiszökjön ebből az összeállításból, ami egy gépkocsi reflektorának felel meg.
P. 5664. Sokszor halljuk, hogy a sarkokon olvadó jég lassítja a Föld tengely körüli forgását. Becsüljük meg a jelenség nagyságát! Az Antarktisz területe \(\displaystyle 14~\textrm{millió~km}^2\), az Arktisz jégtakaróját is tekintsük ugyanekkorának. Vizsgáljuk azt, ha a Déli, illetve az Északi sarkon 1 m vastagságban elolvad a jég.
a) Mennyivel változik a tengerszint az egyik és a másik esetben? b) Mennyivel változik egy földi nap hossza?
P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?
P. 5646. Űrutazást terveznek a Marsra. Az űrhajó a Földet elhagyva olyan ellipszis pályára áll, amely érinti a két bolygópályát, perihéliumába esik a felszállás, aphéliumába pedig a megérkezés. A visszaút hasonló ellipszispályán történik. Az induláshoz mindkét esetben ki kell várni, amíg a két bolygó megfelelő helyzetbe kerül. Mennyi ideig tart az oda-, illetve visszaút, és legalább mennyi időt fognak a Marson tölteni? A bolygópályákat tekintsük azonos síkban fekvő köröknek, a Mars keringési ideje \(\displaystyle 687{,}0\) földi nap.
(5 pont)
Közli: Vladár Károly, Kiskunhalas
Megoldás. A Mars keringési ideje \(\displaystyle T_{\mathrm{M}}=687{,}0~\textrm{nap}=1{,}881~\textrm{év}\). Kepler III. törvénye alapján a Mars-pálya sugara:
\(\displaystyle \frac{R_{\mathrm{M}}^3}{T_{\mathrm{M}}^2}=\frac{R_{\mathrm{F}}^3}{T_{\mathrm{F}}^2},\quad\Rightarrow\quad R_{\mathrm{M}}=\sqrt[3]{\left(\frac{T_{\mathrm{M}}}{T_{\mathrm{F}}}\right)^2}R_{\mathrm{F}}=1{,}524~\mathrm{CsE}, \)
ahol \(\displaystyle R_\mathrm{F}=1\,\mathrm{CsE}\) a Föld-pálya sugara és \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\textrm{év}\) a Föld keringési ideje.
1. ábra
Az oda- és visszaút ellipszispályájának félnagytengelye:
\(\displaystyle a=\frac{R_{\mathrm{M}}+R_{\mathrm{F}}}{2}=1{,}262~\mathrm{CsE},\)
amelyen a keringési idő (ismét Kepler III. törvénye alapján):
\(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=\frac{R_{\mathrm{F}}^3}{T_{\mathrm{F}}^2},\quad\Rightarrow\quad T=\sqrt{\left(\frac{a}{R_{\mathrm{F}}}\right)^3}T_{\mathrm{F}}=1{,}418~\textrm{év}. \)
Az oda- és visszaút időtartama egyaránt ennek az időnek a fele:
\(\displaystyle t=\frac{T}{2}=0{,}709~\textrm{év}\approx 259~\mathrm{nap}. \)
Az űrhajót akkor lehet visszaindítani, ha a \(\displaystyle t\) ideig tartó visszaút után éppen a Földdel egyszerre ér az ellipszis napközeli pontjába. A 2. ábrán az odaút indulásának és megérkezésének, valamint a visszaút indulásának pillanata látható.
2. ábra
Az odautazás indulásakor a Mars még \(\displaystyle \alpha=\tfrac{360^\circ}{T_{\mathrm{M}}}\,t=135{,}7^\circ\)-kal a találkozási pont előtt jár. Mire az űrhajó pontosan fél fordulat után eléri a Marsot, a Föld \(\displaystyle \beta=\tfrac{360^\circ}{T_{\mathrm{F}}}\,t=255{,}2^\circ\)-ot tesz meg a pályáján, így a Föld ekkor \(\displaystyle \beta-180^\circ=75{,}2^\circ\)-kal jár a Mars előtt. Emiatt a visszainduláskor a Marsnak kell ugyanekkora szöggel a Föld előtt járnia. Tehát a Földnek az űrhajó megérkezése és visszaindulása között a Marshoz viszonyítva
\(\displaystyle \gamma=360^\circ-2(\beta-180^\circ)=209{,}6^\circ \)
szöget kell elfordulnia a Nap körül. A két bolygó relatív szögsebessége
\(\displaystyle \omega_{\mathrm{rel}}=\frac{360^\circ}{T_{\mathrm{F}}}-\frac{360^\circ}{T_{\mathrm{M}}}=\frac{168{,}6^\circ}{\textrm{év}}, \)
így a legrövidebb várakozási idő:
\(\displaystyle t_1=\frac{\gamma}{\omega_{\mathrm{rel}}}=1{,}243~\textrm{év}\approx 454~\textrm{nap}. \)
Elekes Panni (Budapest-Fasori Evangélikus Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A megadott ellipszispályát Hohmann-pályának nevezik Walter Hohmann német mérnök után, aki 1925-ben javasolta, mint rakétaüzemanyag-felhasználás szempontjából leggazdaságosabb bolygóközi pályát.
2. A Mars és a Föld
\(\displaystyle T_{\mathrm{rel}}=\frac{360^\circ}{\omega_{\mathrm{rel}}}=2{,}135~\textrm{év}\approx 780~\mathrm{nap} \)
időközönként kerül ugyanilyen relatív helyzetbe, így az első lehetséges alkalom után ennyi időnként adódik újabb lehetőség a visszaindulásra.
3. A Föld és a Mars pályájának numerikus excentricitása: 0,0167, illetve 0,0934. A Mars-pálya inklinációja (a pálya síkjának a Föld pályájáéval, vagyis az ekliptikával bezárt szöge): \(\displaystyle 1{,}85^\circ\). Ezeket a végső, pontosabb tervezéskor figyelembe kell venni.
22 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 10 dolgozat.
P. 5644. Milyen egyetlen, \(\displaystyle m\) tömeggel kellene helyettesíteni az ábrán szereplő jobb oldali csigát és a rajta lévő tömegeket, hogy az \(\displaystyle m_{1}\) tömegű test ugyanúgy mozogjon, mint az eredeti elrendezésben? Hanyagoljuk el a csigák tömegét és a súrlódást.
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
P. 5634. Egy rajztábla és egy rajta nyugvó könyv között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\). A rajztábla egyik szélét lassan emeljük.
a) Mekkora \(\displaystyle \alpha\) hajlásszög esetén csúszik meg a könyv?
b) Mekkora a tábla \(\displaystyle 2\alpha\) hajlásszögű helyzetében a lecsúszó könyv gyorsulása?
c) Mekkora az a legkisebb vízszintes gyorsulás, amivel a \(\displaystyle 2\alpha\) hajlásszögű táblát előre kellene tolni ahhoz, hogy a könyv ne csússzon meg?
A csúszási és a tapadási súrlódási együtthatót tekintsük egyenlőnek. Az eredményeket \(\displaystyle \mu\) és \(\displaystyle g\) segítségével adjuk meg.
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
G. 896. Öt ellenállást kapcsolunk az ábra szerint egy 24 V-os feszültségforrás \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) kimenetére. Az ellenállások: \(\displaystyle R_1=40~\Omega\), \(\displaystyle R_2=50~\Omega\), \(\displaystyle R_3=R_4=10~\Omega\) és \(\displaystyle R_5=20~\Omega\).
a) Határozzuk meg az áramkör eredő ellenállását a kapcsoló zárt és nyitott állásában!
b) Mennyivel változik meg az \(\displaystyle R_4\) ellenállás teljesítménye, ha a zárt kapcsolót kinyitjuk?
(4 pont)
Közli: Veres Dénes, Szolnok
G. 893. A folyosó padlójára leterített, \(\displaystyle 4~\mathrm{m}\) hosszúságú szőnyeget négyrét (négy egyforma rétegben) összehajtjuk úgy, hogy bal oldali szegélyét (B) megfogjuk, és folyamatosan \(\displaystyle 20~\mathrm{cm}/\mathrm{s}\) nagyságú, vízszintes irányú sebességgel először jobbra, azután balra, majd ismét jobbra visszük. (Lásd az ábrát!)
a) Mennyi időt vesz igénybe a szőnyeg összehajtása?
b) Az összehajtás megkezdésétől mért \(\displaystyle 5~\mathrm{s}\) elteltével a szőnyegnek milyen hosszú darabja rendelkezik jobbra irányuló sebességgel? A szőnyeg vékony, könnyen hajtható anyagból készült, és nem csúszik meg a padlón. Az irányváltoztatások pillanatszerűen következnek be.
P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.
1897. évi érettségi feladat nyomán
P. 5645. Egy motoros \(\displaystyle 36~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel hajt be egy félkör alakú, ,,visszafordító'' kanyarba. Az aszfalt és a kerekek közötti tapadási súrlódási együttható \(\displaystyle 0{,}58\). A motoros mindvégig egy \(\displaystyle 40~\mathrm{m}\) sugarú köríven tartja járművét (pontosabban a motor és a motoros közös tömegközéppontját), és közben végig egyenletesen növeli annak sebességét.
a) Legfeljebb hány \(\displaystyle \mathrm{m}/\mathrm{s}\)-mal növelheti a motoros másodpercenként a sebességét?
b) Mekkora sebességre gyorsulhat fel a versenyző a kanyar végére?
c) Hogyan változik a motoros függőlegessel bezárt szöge a kanyarban?
Közli: Kis Tamás, Heves
P. 5639. A mellékelt kapcsolási rajznak megfelelően összeállított áramkörben a feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 6~\mathrm{V}\), belső ellenállásának nagysága \(\displaystyle 2~\Omega\). Az ideális tekercs önindukciós együtthatója \(\displaystyle 1{,}5~\mathrm{H}\), az \(\displaystyle R\) ellenállás pedig \(\displaystyle 1000~\Omega\) nagyságú. Kezdetben a kapcsoló zárva van.
a) Mekkora töltés áramlik át az \(\displaystyle R\) ellenálláson a kapcsoló kinyitása után?
b) Mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R\) ellenálláson ezalatt?
Tornyai Sándor fizikaverseny nyomán, Hódmezővásárhely
P. 5636. Egy űrszonda a Föld \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}\)-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest \(\displaystyle nv\) sebességgel (\(\displaystyle n<1\)) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.
a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?
b) Mekkora lehet \(\displaystyle n\), hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?
(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket a honlapon.)
Almár Iván feladata nyomán
P. 5635. A nyújtón az óriáskör bemutatásánál a tornász éppen átbillen a felső függőleges helyzetén. Amikor alulra ér, az acélrúd láthatóan meghajlik. Modellezzük a tornászt egy vékony, súlyos, homogén rúddal, ami vízszintes tengely körül forog. Ha a rúd a felső állásából az alsóba ér, akkor a súlyának hányszorosával húzza a tengelyt? (A súrlódást, közegellenállást, a tengely behajlását a rúd hosszához képest hanyagoljuk el.)
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
G. 891. Egy dominó alakú hasábot készítünk valamilyen gyengén vezető anyagból. A méretek: \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{cm}\times 3~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\). Megmérjük a dominó elektromos ellenállását úgy, hogy az egymással szemben lévő oldalai között folyjon az áram. A csatlakozásokat úgy alakítjuk ki, hogy a dominókban az áramsűrűség homogén legyen. A feszültségeket úgy választjuk meg, hogy az áramsűrűség nagysága mindhárom esetben megegyezzen.
a) Hogy aránylik egymáshoz a három mért ellenállás?
b) Hogy aránylik egymáshoz az alkalmazott három feszültség?
c) Hogy aránylik egymáshoz a három esetben a másodpercenként felszabaduló Joule-hő?
Woynarovich Ferenc
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
M. 442. Mérjük meg egy – még nem használt – mosogatószivacs anyagának sűrűségét!
M. 441. Egy vasalót állítsuk ferde támasztólapjára, majd kapcsoljuk be. Ábrázoljuk az idő függvényében a vasaló ki-be kapcsolását! Várjuk meg a periodikus ki-be kapcsolgatást, és ennek segítségével becsüljük meg, hogy állandósult állapotban másodpercenként mennyi hőt ad le a vasaló! A méréseket végezzük el három különböző beállított hőmérsékletnél! Minden mérés előtt várjuk meg, hogy a vasaló szobahőmérsékletre hűljön. A becsléshez a bekapcsolt vasaló teljesítményét közelítsük a névleges értékkel.
G. 881. Egy hosszú futószalag \(\displaystyle 2~\mathrm{m}\) széles és \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nagyságú, állandó sebességgel mozog. Egy távirányításos játékautó úgy jut el a futószalag egyik szélétől a másikig, hogy a futószalaghoz képest nyugalmi helyzetből indul, a futószalaghoz képest mindig a szalagra merőleges irányban mozog, egyenletesen gyorsul a futószalag közepéig, ahol a szalaghoz képest \(\displaystyle 1~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) sebességet ér el, majd ugyanolyan módon egyenletesen lassul, és végül a szalaghoz képest nullára csökken a sebessége.
a) A futószalag mennyivel viszi előbbre a kisautót az átkelése közben?
b) Rajzoljuk meg vázlatosan a kisautó pályáját a talajhoz képest!
