A C. 1314. feladat (2015. október)

C. 1314. Egy háromszög két oldala egységnyi hosszú, közrezárt szögük \(\displaystyle 108^{\circ}\). Írjunk a háromszögbe szabályos ötszöget úgy, hogy az ötszög oldalai közül három a háromszög oldalaira essen. Mekkorák a beírt ötszög oldalai?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy szabályos ötszög belső szöge \(\displaystyle 108^{\circ}\). Az ötszög három szóban forgó oldala közül kettő biztosan szomszédos, így ezek a háromszög száraira illeszkednek az ábrán látható módon.

Legyen az \(\displaystyle AB\) alap felezőpontja \(\displaystyle H\), az ötszög oldalainak hossza pedig \(\displaystyle a\).

A \(\displaystyle CHB\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \cos 36^{\circ}=\frac{HB}{CB}=\frac{a/2+1-a}{1}=1-\frac a2\), amiből \(\displaystyle 1-\frac a2\approx0,81\), és így \(\displaystyle a\approx 0,38\).

Megjegyzés. A \(\displaystyle \cos36^{\circ}\) pontos értéke \(\displaystyle \frac{\sqrt5+1}{4}\).

Szögfüggvények pontos értéke

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai