Az A. 594. feladat (2013. szeptember)

A. 594. Az ABCD konvex érintőnégyszögbe írt kör az AB és BC oldalakat az E, illetve az F pontban érinti. Az AC átló a beírt kört a P és a Q pontban metszi; a Q pont az A és a P pontok között helyezkedik el. Mutassuk meg, hogy a BD, EP és FQ egyenesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás (vázlat) A feladatot projektív geometriai eszközökkel oldjuk meg; felhasználjuk a körre vonatkozó polaritás néhány jól ismert tulajdonságát. (Ld. pl. itt, itt vagy itt.)

Legyen G és H a beírt kör érintési pontja a CD, illetve a DA oldalon. Messe a beírt kör a BD átlót az R és az S pontban (BR<BS), továbbá legyen O az EG és az FH szakasz metszéspontja. Jól ismert, hogy az AC, BD, EG és FH egyenesek egy ponton mennek át, tehát AC és BD is átmegy O-n.

Legyen X és Y a BD, illetve az AC egyenesnek a beírt körre vonatkozó pólusa. Szintén ismert, hogy az AC és BD egyensek konjugáltak, azaz átmennek egymás pólusán: X az AC, Y pedig a BD egyenesen van.

Mivel Y polárisa az AQPC egyenes, az YP és YQ szakaszok az Y pontból a beírt körhöz húzott érintők; hasonlóképpen, XR és XS az X pontból húzott érintők. Az A és Y pontok konjugáltak, mert A rajta van az Y pont AC polárisán, ezért Y is rajta van A polárisán, ami az EH egyenes. Tehát E,H,Y egy egyenesen van. Hasonlóan láthatjuk, hogy az F,G,Y, az E,F,X, iletve a G,H,X pontok egy egyenesen vannak.

Legyen U az AB és YQ, V pedig a BC és YP egyenesek metszéspontja. A BUYV érintőnégyszögben is igaz, hogy a BY és UV átlók, továbbá a szemközti érintési pontokat összekötő EP és FQ egyenesek egy ponton mennek át. (Az is igaz, hogy az UV egyenes átmegy X-en.)

2. megoldás (vázlat) Legyen ismét G és H a beírt kör érintési pontja a CD, illetve a DA oldalon, és legyen O az EG és az FH szakasz metszéspontja. Az O pont a kör belsejében van.

Ismert, hogy az ábrát lehetséges középpontosan egy másik síkra vetíteni úgy, hogy a beírt kör képe kör legyen, az O pont O' képe pedig a vetített kör középpontja. (A részletes bizonyítást ld. pl. Reiman István: Geometria és határterületei [1999], 384-387. old.).

Az X pont képét X'-szel jelölve, az A'B'C'D' négyszögben E'G' és F'H' a beírt kör átmérői, következésképp A'B'C'D' egy rombusz. Az E'P' és F'H' szakaszok szimmetrikusak a rombusz B'D' átlójára, ezért metszéspontjuk az átlón van.

Az eredeti síkra visszavetítve kapjuk, hogy EP, FQ és BD egy ponton megy át.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Herczeg József, Homonnay Bálint, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Machó Bónis, Maga Balázs, Petrényi Márk, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Williams Kada	(13 versenyző).
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai