Az A. 608. feladat (2014. február)

A. 608. Tegyük fel, hogy az egy síkban fekvő \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle P_3\) konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az \(\displaystyle A\in P_1\), \(\displaystyle B\in P_2\) és \(\displaystyle C\in P_3\) pontokat, az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe legfeljebb egységnyi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle P_3\) sokszöglemezek között van két különböző, amelyek területének összege nem több \(\displaystyle 8\) egységnél.

Javasolta: Fleiner Tamás (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyenek \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az egymástól legtávolabbi olyan pontok, amelyek ugyanahhoz a sokszöglemezhez (mondjuk \(\displaystyle P_3\)-hoz) tartoznak. Legyen \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle Q\) pedig a \(\displaystyle P_2\) egy pontja, és legyen a \(\displaystyle Z\) az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle \overrightarrow{PQ}\)-val való eltoltja. A feltétel szerint \(\displaystyle 2\ge T_{XYP_\triangle}+ T_{XYQ_\triangle}\ge T_{XYZ_\triangle}\), hiszen a két háromszög összterülete nem növekszik, ha a \(\displaystyle PQ\) közös alapjukat úgy toljuk el, hogy \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XY\) egyenesre essen. Könnyen látható, hogy ha eztán a kapott \(\displaystyle P'Q'\) alapot úgy toljuk tovább, hogy \(\displaystyle P'\) képe az \(\displaystyle X\)-be kerüljön, úgy ettől sem növekedhet az összterület.

Legyenek az \(\displaystyle I_1\) ill. \(\displaystyle I_2\) szakaszok a \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) sokszöglemezeknek egy \(\displaystyle XY\)-ra merőleges \(\displaystyle e\) egyenesre eső merőleges vetületei. A fenti érvelés szerint tetszőleges \(\displaystyle I_1\)-beli és \(\displaystyle I_2\)-beli pontok távolsága legfeljebb \(\displaystyle 4/d\) lehet (ahol \(\displaystyle d:=|XY|\)), amiből kis piszmogással \(\displaystyle |I_1|+|I_2|\le 8/d\) következik.

A feladat állítása közvetlenül adódik abból, hogy \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) befoglalható egy-egy \(\displaystyle d\times |I_1|\) ill. \(\displaystyle d\times |I_2|\) méretű téglalapba, tehát összterületük legfeljebb \(\displaystyle d\cdot (|I_1|+|I_2|)\le d\cdot 8/d=8\).

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai