Az A. 609. feladat (2014. február)

A. 609. Legyenek \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) és \(\displaystyle b_1,b_2,\dots,b_n\) olyan komplex számok, amelyekre \(\displaystyle \mathop{\rm Im} a_j\ge 1\) és \(\displaystyle \mathop{\rm Im} b_j\le -1\) (\(\displaystyle j=1,2,\dots,n\)), és legyen

\(\displaystyle f(z) = \frac{(z-a_1)(z-a_2)\ldots (z-a_n)}{(z-b_1)(z-b_2)\ldots (z-b_n)}. \)

Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle f'(z)\) függvénynek nincs gyöke az \(\displaystyle |\mathop{\rm Im}z|<1\) halmazon.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Ha \(\displaystyle |\mathop{\rm Im}z|<1\), akkor

\(\displaystyle \mathop{\rm Im} \frac{f'(z)}{f(z)} = \mathop{\rm Im} \left( \sum_{k=1}^n \frac1{z-a_k} - \sum_{k=1}^n \frac1{z-b_k} \right) >0, \)

így \(\displaystyle f'(z)\ne0\).

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Maga Balázs, Szőke Tamás, Williams Kada.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai