Az A. 676. feladat (2016. szeptember)

A. 676. Legyen a \(\displaystyle \mathcal{K}\) kör egy átmérője \(\displaystyle OI\). Konstruáljunk kölcsönösen egyértelmű \(\displaystyle f \colon \mathcal{K}\setminus \{O,I\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\) megfeleltetést a következő tulajdonsággal: \(\displaystyle \mathcal{K}\) bármely négy, \(\displaystyle O\)-tól, \(\displaystyle I\)-től és egymástól is különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontjára \(\displaystyle f(A)f(B) = f(C)f(D)\) akkor és csak akkor teljesül, ha az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle OI\) egyenesek egy ponton mennek át, vagy pedig párhuzamosak egymással.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Egy lehetséges függvény \(\displaystyle f(X)= \pm\frac{IX}{XO} = \tg IOX\angle\), ahol az \(\displaystyle IOX\angle\) szöget előjelesen értjük: az értéke pozitív, ha az \(\displaystyle OIX\) háromszög pozitív körüljárású, illetve negatív, ha a háromszög negatív körüljárású. Az \(\displaystyle IOX\angle\) szög a \(\displaystyle 0\) kivételével minden értéket felvesz a \(\displaystyle (-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2)\) intervallumban, így az \(\displaystyle f\) függvény is pontosan egyszer vesz fel minden \(\displaystyle 0\)-tól különböző valós értéket, vagyis \(\displaystyle f\) valóban egy kölcsönösen egyértelmű \(\displaystyle f \colon \mathcal{K}\setminus \{O,I\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\) megfeleltetés.

Az \(\displaystyle f\) függvény definíciójából láthatjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle X,Y\) pontokra

\(\displaystyle \frac{f(X)}{f(Y)} = \pm\frac{IX}{XO}:\frac{IY}{YO} = (I,O,X,Y), \)

ahol \(\displaystyle (I,O,X,Y)\) a négy pontnak a \(\displaystyle k\) körön vett kettősviszonya.

A feladatban előírt tulajdonság bizonyításához tekintsünk a körön négy tetszőleges, \(\displaystyle O\)-tól és \(\displaystyle I\)-től különböző pontot: \(\displaystyle A,B,C,D\)-t. Legyen az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle OI\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle M\). (Ha \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle OI\) párhuzamos, akkor legyen \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle OI\) egyenes ideális pontja.) A \(\displaystyle CM\) egyenes és a \(\displaystyle \mathcal{K}\) kör második, \(\displaystyle C\)-től különböző metszéspontja legyen \(\displaystyle D_1\). (Ha \(\displaystyle CM\) érinti a kört, akkor \(\displaystyle D_1=C\).)

Az \(\displaystyle I,O,A,C\) pontokat az \(\displaystyle M\) ponton keresztül visszavetítve a körre, rendre az \(\displaystyle O,I,B,D_1\) pontokat kapjuk. Mint inverzió segítségével igazolható, egy körről (és így kúpszeletről) tetszőleges pontból önmagára visszavetítve, a pontnégyesek kettősviszonya megmarad. Ezért

\(\displaystyle \frac{f(A)}{f(C)} = (I,O,A,C) = (O,I,B,D_1) = (I,O,D_1,B) = \frac{f(D_1)}{f(B)}, \)

\(\displaystyle f(A) \cdot f(B) = f(C) \cdot f(D_1). \)

A \(\displaystyle CD\) egyenes akkor és csak akkor megy át az \(\displaystyle M\) ponton, ha \(\displaystyle D=D_1\), azaz, ha \(\displaystyle f(C)\cdot f(D) = f(C)\cdot f(D_1) = f(A)\cdot f(B)\).

Megjegyzés. Kettősviszonyok használata nélkül, például az \(\displaystyle MIA\) és \(\displaystyle MBO\), az \(\displaystyle MIB\) és \(\displaystyle MAO\), az \(\displaystyle MIC\) és \(\displaystyle MD_1O\), illetve az \(\displaystyle MID_1\) és \(\displaystyle MAC\) háromszögek hasonlóságából is levezethető, hogy

\(\displaystyle f(A) \cdot f(B) = f(C) \cdot f(D_1) = \frac{MI}{MO}. \)

(Az utolsó tört előjele negatív, ha az \(\displaystyle MI\) és \(\displaystyle MO\) szakaszok ellentétes irányúak.)

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Imolay András, Lajkó Kálmán, Németh 123 Balázs, Tóth Viktor, Váli Benedek, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Egri Máté, Kerekes Anna, Matolcsi Dávid.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai