Az A. 920. feladat (2025. december)

A. 920. Adott egy nem egyenlő szárú \(\displaystyle ABC\) háromszög, melynek körülírt körét jelöljük \(\displaystyle \Omega\)-val. Legyen \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\) csúcshoz tartozó mixtilineáris beírt kör (azaz az a kör, ami érinti az \(\displaystyle AB,AC\) oldalakat és \(\displaystyle \Omega\)-t belülről). Hasonlóan definiáljuk az \(\displaystyle \omega_B,\omega_C\) köröket. Jelölje az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök \(\displaystyle \Omega\)-n lévő érintési pontjait rendre \(\displaystyle T_A,T_B\) és \(\displaystyle T_C\).

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök Monge-egyenese (azaz a három kör páronként vett külső hasonlósági középpontjain átmenő egyenese) egybeesik az \(\displaystyle AT_CBT_ACT_B\) húrhatszög Pascal-egyenesével (azaz az \(\displaystyle AT_C\cap T_AC\), \(\displaystyle T_CB\cap CT_B\), \(\displaystyle BT_A\cap T_BA\) pontokon átmenő egyenessel).

Javasolta: Sha Jingyuan (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) külső hasonlósági pontja a \(\displaystyle T_BT_C\) egyenes és a \(\displaystyle BC\) egyenes metszéspontja. Alkalmazzuk a Monge-tételt erre a két körre és \(\displaystyle \Omega\)-ra: \(\displaystyle T_B\) és \(\displaystyle T_C\) a körülírt kör és a két kör külső hasonlósági pontjai, tehát az egyenesükön rajta van a keresett pont, másrészt rajta van a két kör közös külső érintőjén, amiből az egyik a \(\displaystyle BC\) egyenes.

Azt kell tehát igazolnunk, hogy \(\displaystyle BC\cap T_BT_C\), \(\displaystyle AT_C\cap T_AC\) és \(\displaystyle T_CB\cap CT_B\) egy egyenesen mennek át. Ezek éppen a \(\displaystyle BCT_A\) és a \(\displaystyle T_BT_CA\) háromszögek megfelelő oldalegyeneseinek a metszéspontjai. Így a Desargues-tétel alapján az a bizonyítandó, hogy a \(\displaystyle BT_B\), \(\displaystyle CT_C\) és \(\displaystyle AT_A\) egyenesek egy ponton mennek át. Ehhez alkalmazzuk a Monge-tételt a körülírt körre, a beírt körre és az \(\displaystyle \omega_A\) körre: mivel két hasonlósági pont az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle T_A\), így az őket összekötő egyenes átmegy a beírt és a körülírt kör külső hasonlósági pontján. Mivel ez igaz \(\displaystyle BT_B\) és \(\displaystyle CT_C\)-re is, a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

Az A. 920. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai