Az A. 921. feladat (2025. december)

A. 921. Adott egy \(\displaystyle n\geq 2\) egész szám. Legyenek \(\displaystyle x_1,\ldots,x_n\) olyan pozitív valós számok, melyek szorzata \(\displaystyle n-1\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle x_1+\ldots+x_n-\left(\dfrac{1}{x_1^{n-1}}+\ldots+\dfrac{1}{x_n^{n-1}}\right)<(n-1)^{1+\frac{1}{n}}. \)

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Írjuk át az ismeretleneinket \(\displaystyle x_i=e^{t_i}\) alakba: ez megtehető, hiszen a változóink pozitívak. A szorzatra vonatkozó feltételből az lesz, hogy a változók összege, \(\displaystyle t_1+...+t_n=\log_e (n-1)\) állandó. A maximalizálandó függvény pedig \(\displaystyle f(t_1)+...+f(t_n)\), ahol \(\displaystyle f(t)=e^t-e^{-(n-1)t}\). Most vizsgáljuk meg \(\displaystyle f\)-et konvexitás szempontjából: \(\displaystyle f'(t)=e^t+(n-1)e^{-(n-1)t}\) és \(\displaystyle f''(t)=e^t-(n-1)^2e^{-(n-1)t}>0\), azaz \(\displaystyle f''(t)\ge 0\), ha \(\displaystyle t\le\frac{\log_e((n-1)^2)}{n}\) és \(\displaystyle f''(t)\le 0\), ha \(\displaystyle t\ge \frac{\log_e((n-1)^2)}{n}\), azaz az \(\displaystyle f\) függvénynek van egy konkáv és egy konvex szakasza. Ha a \(\displaystyle t_i\) változók közül kettő a konvex szakaszra esik, akkor távolítva őket egymástól (az összegük fixen tartása mellett) a függvényértékek összege nő; ha pedig a konkáv szakaszra esik két változó, akkor közelítve őket egymáshoz (az összegük fixen tartása mellett) fog a függvényértékek összege nőni. Az első típusú lépéssel elérhető, hogy legfeljebb egy változó kivételével mindegyik a konkáv szakaszra essen, a második típusú lépéssel pedig az, hogy a konkáv szakaszon lévő változók mind egyenlők legyenek egymással. Az utóbbi eléréséhez azt kell észrevenni, hogy a konkáv szakaszon lévő változók átlagát tekintve, ha nem mind egyforma értékűek, akkor lesz az átlagnál nagyobb és az átlagnál kisebb értékű változó is: ezeket addig közelítjük egymáshoz, amíg az egyikük egyenlő nem lesz az átlaggal. Ezt a lépést ismételve az összes változó egyenlő lesz (legfeljebb annyi lépés után, ahány változónk volt).

Tehát beláttuk, hogy a maximumot egy olyan helyen fogjuk elérni, ahol legalább \(\displaystyle n-1\) változó egyenlő: feltehető, hogy \(\displaystyle x_1=x_2=...=x_{n-1}=x\). Ekkor tehát \(\displaystyle x^{n-1}x_n=n-1\), azaz \(\displaystyle x_n=\frac{n-1}{x^{n-1}}\) és a maximalizálandó egyváltozós függvény:

\(\displaystyle g(x)=(n-1)x+\frac{n-1}{x^{n-1}}-(n-1)\frac{1}{x^{n-1}}-\frac{x^{(n-1)^2}}{(n-1)^{n-1}}=(n-1)x-\frac{x^{(n-1)^2}}{(n-1)^{n-1}}. \)

Deriválva

\(\displaystyle g'(x)=(n-1)-\frac{(n-1)^2x^{n^2-2n}}{(n-1)^{n-1}}, \)

így \(\displaystyle g'(x)=0\) a pozitív számokon csak \(\displaystyle x=(n-1)^\frac{1}{n}\) esetén teljesül. Mivel \(\displaystyle g'\) a pozitív számokon szigorúan monoton csökken, ezért \(\displaystyle g\) a pozitív számokon konkáv függvény, vagyis a megtalált pontban valóban maximuma van. A maximum értéke pedig kisebb, mint \(\displaystyle (n-1)x=(n-1)\cdot(n-1)^\frac{1}{n}=(n-1)^{1+\frac{1}{n}}\), így a feladat állítását beláttuk.

Statisztika:

Az A. 921. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai