Az A. 925. feladat (2026. január)

A. 925. Négy pontot nevezzünk általános helyzetűnek, ha páronként különbözők, semelyik három nincs egy egyenesen, és az általuk meghatározott hat egyenes között semelyik kettő sem párhuzamos.

Adottak az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) általános helyzetű pontok egy körön. Legyen az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) metszéspontja \(\displaystyle F\), \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) metszéspontja pedig \(\displaystyle G\). Jelölje az \(\displaystyle EFG\) háromszögben az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\).

a) Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AR\)–\(\displaystyle BQ\)–\(\displaystyle CP\), \(\displaystyle AQ\)–\(\displaystyle BR\)–\(\displaystyle DP\), \(\displaystyle AP\)–\(\displaystyle CR\)–\(\displaystyle DQ\), illetve \(\displaystyle BP-CQ-DR\) egyeneshármasok egy-egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.

b) Tegyük fel, hogy mind a négy egyeneshármas egy-egy pontban találkozik, jelöljük ezeket a pontokat rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\), \(\displaystyle W\)-vel. Továbbá tegyük fel, hogy ezek a pontok általános helyzetűek. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle XWYZ\), \(\displaystyle XYZW\), \(\displaystyle XZWY\) négyszögek Miquel-pontjai éppen a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) pontok.

Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce) és Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

A bizonyításban végig irányított szögekkel fogunk dolgozni. Logikai szimmetria miatt persze az a) feladathoz elég belátni, hogy az \(\displaystyle AR,BQ,CP\) egyenesek egy \(\displaystyle X\) pontban találkoznak.

Inverzióval fogjuk belátni a konkurenciát. Invertáljunk egy \(\displaystyle B\) középpontú körre. Az inverzió alatt minden \(\displaystyle K\) pont képét jelöljük \(\displaystyle K^*\)-al. Az ábra szerkesztéséből közvetlenül kapjuk, hogy az \(\displaystyle A^*,D^*,C^*\) pontok egy egyenesen vannak (hiszen az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög), \(\displaystyle E^*\) az \(\displaystyle BA^*\) egyenes és a \(\displaystyle (BC^*D^*)\) kör második metszéspontja, \(\displaystyle F^*\) a \(\displaystyle BD^*\) egyenes és a \(\displaystyle (BA^*C^*)\) kör második metszéspontja, illetve \(\displaystyle G^*\) a \(\displaystyle BC^*\) egyenes és a \(\displaystyle (BA^*D^*)\) kör második metszéspontja. Mik lesznek a \(\displaystyle P^*,Q^*,R^*\) pontok? A Brocard-tétel azt állítja, hogy az \(\displaystyle (ABCD)\) körre nézve az \(\displaystyle EFG\) háromszög mindhárom csúcsának polárisa a szemközti oldalegyenes. Így magasságvonalak talppontja éppen a csúcsok inverzei lesznek erre a körre nézve. Az inverz tulajdonság inverzió után is megmarad. Tehát az \(\displaystyle E^*-P^*\), \(\displaystyle F^*-Q^*\), \(\displaystyle G^*-R^*\) pontpáros továbbra is egymás inverzei, azaz tükörképei lesznek az \(\displaystyle (ABCD)\) kör képére nézve, ami éppen az \(\displaystyle A^*D^*C^*\) egyenes. Azaz \(\displaystyle P^*,Q^*,R^*\) az \(\displaystyle E^*,F^*,G^*\) tükörképei az \(\displaystyle A^*D^*C^*\) egyenesre nézve, és azt kell belátni, hogy a \(\displaystyle (BA^*R^*),(BC^*P^*)\) körök és a \(\displaystyle BQ^*\) egyenes átmegy \(\displaystyle X\neq B\) ponton.

Definiáljuk \(\displaystyle X\)-et a \(\displaystyle BQ^*,P^*R^*\) egyenesek metszéspontjaként, azt fogjuk megmutatni, hogy ez a kívánt pont. Ehhez először belátjuk, hogy az \(\displaystyle A^*,F^*,R^*\) pontok egy egyenesen vannak. Valóban,

\(\displaystyle R^*A^*D^*\sphericalangle=-G^*A^*D^*\sphericalangle=-G^*BD^*\sphericalangle=-C^*BF^*\sphericalangle=-C^*A^*F^*\sphericalangle=F^*A^*D^*,\)

ahol az első egyenlőség a tükrözés miatt, a többi pedig a húrnégyszögek miatt van. Hasonlóan belátható, hogy az \(\displaystyle A^*-G^*-Q^*\), \(\displaystyle C^*-E^*-Q^*\), \(\displaystyle C^*-F^*-P^*\), \(\displaystyle D^*-E^*-R^*\), \(\displaystyle D^*-G^*-P^*\) ponthármasok egy-egy egyenesen vannak. (Ezek közül nem lesz mindegyikre szükségünk, de így teljes az ábra.) Most már készen állunk, hogy belássuk, hogy az \(\displaystyle A^*,B,R^*,X\) pontok egy körön vannak:

\(\displaystyle XR^*A^*\sphericalangle=P^*R^*A^*\sphericalangle=-E^*G^*A^*\sphericalangle=-E^*G^*Q^*\sphericalangle=-E^*BQ^*\sphericalangle=XBA^*\sphericalangle,\)

ahol ismét felhasználtuk a tükörképes tulajdonságot, illetve egy húrnégyszögben a kerületi szögek tételét. Persze hasonlóan belátható, hogy a \(\displaystyle C^*,B,P^*,X\) pontok is egy körön vannak. Ezzel beláttuk az a) részt.

Térjünk rá a b) részre. Ismét logikai szimmetria miatt elég belátni, hogy \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle XYZW\) Miquel-pontja. Kicsit visszatekintve az a) rész bizonyításába, látjuk visszainvertálás után, hogy a \(\displaystyle B,P,R,X\) pontok egy körön vannak. Hasonlóan láthatjuk be, hogy a \(\displaystyle D,P,Q,W\) pontok, illetve a \(\displaystyle D,R,Q,Y\) pontok egy-egy körön vannak. Mivel \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle PY,RW\) egyenesek metszéspontja, \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle PYRW\) négyszög Miquel-pontja. Tehát létezik egy olyan \(\displaystyle \varphi\) forgatva nyújtás, amelynek \(\displaystyle Q\) a középpontja, és \(\displaystyle W\)-t \(\displaystyle P\)-be, míg \(\displaystyle R\)-t \(\displaystyle Y\)-ba viszi. Hasonlóan a \(\displaystyle C,P,Q,Z\) és \(\displaystyle C,Q,R,X\) pontok is egy-egy körön vannak, így \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle PZRX\) négyszög Miquel-pontja, ami által létezik olyan \(\displaystyle Q\) középpontú \(\displaystyle \psi\) forgatva nyújtás, ami \(\displaystyle P\)-t \(\displaystyle Z\)-be, \(\displaystyle X\)-et pedig \(\displaystyle R\)-be viszi. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \varphi\circ \psi\) során \(\displaystyle X\to R\to Y\), míg \(\displaystyle \psi\circ \varphi\) során \(\displaystyle W\to P\to Z\). Viszont \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle \psi\) középpontja megegyezik, így \(\displaystyle \varphi\circ \psi=\psi\circ\varphi\). És ez a forgatva nyújtás \(\displaystyle X\)-et \(\displaystyle Y\)-ba, \(\displaystyle W\)-t \(\displaystyle Z\)-be viszi. Ennek a középpontja \(\displaystyle Q\), így valóban \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle XYZW\) Miquel-pontja.

Statisztika:

Az A. 925. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai