 |
Az A. 930. feladat (2026. március) |
A. 930. Létezik-e olyan tetraéder, amelyben a lapok beírt köreinek középpontjai egy síkba esnek?
Javasolta: Moussong Gábor (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy a tetraéder csúcsai \(\displaystyle A,B,C,D\), és jelöljük az élek hosszát a következőképpen:
\(\displaystyle AB=c,\qquad AC=b,\qquad BC=a,\qquad AD=d,\qquad BD=e,\qquad CD=f. \)
Súlyponti koordinátákat használunk az \(\displaystyle ABCD\) tetraéderre nézve. Egy háromszög beírt körének középpontja a háromszög csúcsaira nézve az oldalak hosszával arányos baricentrikus koordinátákkal adható meg. Ezért a négy lap beírt köreinek középpontjai rendre
\(\displaystyle I_{BCD}=(0:f:e:a),\qquad I_{ACD}=(f:0:d:b), \)
\(\displaystyle I_{ABD}=(e:d:0:c),\qquad I_{ABC}=(a:b:c:0). \)
Ez a négy pont pontosan akkor esik egy síkba, ha az ezekből képzett determináns eltűnik:
\(\displaystyle \Delta= \det \begin{pmatrix} 0 & f & e & a\\ f & 0 & d & b\\ e & d & 0 & c\\ a & b & c & 0 \end{pmatrix} =0. \)
A determinánst kifejtve kapjuk, hogy
\(\displaystyle \Delta = a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2-2abde-2acdf-2bcef. \)
Ez szorzattá alakítva:
\(\displaystyle \Delta =- \Big(\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf}\Big) \Big(-\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf}\Big) \)
\(\displaystyle \cdot \Big(\sqrt{ad}-\sqrt{be}+\sqrt{cf}\Big) \Big(\sqrt{ad}+\sqrt{be}-\sqrt{cf}\Big). \)
Most megmutatjuk, hogy a fenti szorzat minden tényezője pozitív. Vegyünk egy \(\displaystyle D\) középpontú, \(\displaystyle \sqrt{def}\) sugarú inverziót. Ekkor az \(\displaystyle A,B,C\) pontok képei egy olyan háromszög csúcsai lesznek, amelynek oldalai
\(\displaystyle ad,\qquad be,\qquad cf. \)
Valóban, például
\(\displaystyle A'B'=\frac{def\cdot AB}{AD\cdot BD} =\frac{def\cdot c}{de}=cf, \)
és hasonlóan kapjuk a másik két oldalt is. Ezért ezekre a számokra teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenségek:
\(\displaystyle ad+be>cf,\qquad be+cf>ad,\qquad cf+ad>be. \)
Ezekből következik, hogy
\(\displaystyle \sqrt{ad}+\sqrt{be}>\sqrt{cf}, \)
hiszen
\(\displaystyle (\sqrt{ad}+\sqrt{be})^2 =ad+be+2\sqrt{abde} >ad+be>cf. \)
Ugyanígy kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sqrt{ad}+\sqrt{cf}>\sqrt{be} \qquad\text{és}\qquad \sqrt{be}+\sqrt{cf}>\sqrt{ad}. \)
Tehát a szorzatban szereplő mind a négy tényező pozitív, így
\(\displaystyle \Delta<0. \)
Következésképpen \(\displaystyle \Delta\) nem lehet nulla, vagyis a négy beírt kör középpontja nem eshet egy síkba.
Tehát nem létezik olyan tetraéder, amelyben a lapok beírt köreinek középpontjai egy síkba esnek.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Aravin Peter, Bodor Mátyás, Bolla Donát Andor, Diaconescu Tashi, Forrai Boldizsár, Kis Ágoston, Morvai Várkony Albert, Rajtik Sándor Barnabás, Sami El-Hajjar, Vödrös Dániel László. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai