 |
Az A. 937. feladat (2026. május) |
A. 937. Legyen \(\displaystyle P \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]\) legalább másodfokú, irreducibilis komplex polinom. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle M>1\) egész szám, amelyre
\(\displaystyle P(x_1,\dots,x_n)\mid P(x_1^M,\dots,x_n^M). \)
Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan nem nulla \(\displaystyle c\) komplex szám, \(\displaystyle \zeta\) komplex egységgyök, valamint olyan nemnegatív egész \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle a_n\), \(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle b_n\) számok, amelyekre
\(\displaystyle P(x_1,\dots,x_n)=c\left(x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}-\zeta\,x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\right). \)
Javasolta: Navid Safaei (Teherán)
(7 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a \(\displaystyle P\) polinomnak van olyan változója, amitől nem függ, azt hagyjuk el. Ha \(\displaystyle P\) átírható \(\displaystyle Q(x_1^{k_1},...,x_n^{k_n})\) alakba, akkor \(\displaystyle P\) helyett a \(\displaystyle Q\) polinomra is igaz a feladat feltevése, és ha \(\displaystyle Q\)-ra igazoljuk hogy felírható az adott alakban, akkor ez \(\displaystyle P\)-re is teljesül. Ha legalább az egyik \(\displaystyle k_i\) kitevő egynél nagyobb, akkor \(\displaystyle Q\)-ban a tagok fokainak összege kisebb, mint \(\displaystyle P\)-ben (mivel minden változója szerepel legalább egy tagban), így véges sok ilyen lépés után kapunk egy polinomot, amely már nem írható át ilyen alakban. Feltehető tehát, hogy az \(\displaystyle P\) polinom nem írható át a megadott alakban.
Legyen \(\displaystyle \varepsilon\) egy primitív \(\displaystyle M\)-ik komplex egységgyök. Ekkor persze a feladat feltétele alapján \(\displaystyle P(\varepsilon^ix_1,x_2,...,x_n)|P(x_1^M,x_2^M,...,x_n^M)\). A kulcsészrevétel az, hogy a \(\displaystyle P_i(x_1,...,x_n)=P(\varepsilon^ix_1,x_2,...,x_n)\) polinomok (ahol \(\displaystyle i=0,1,...,M-1\)) irreducibilisek és nem lehetnek egymás asszociáltjai (azaz egymás komplex skalárszorosai).
Először az irreducibilitás: ha egy rögzített nem nulla \(\displaystyle z\) komplex számra \(\displaystyle P(zx_1,x_2,...,x_n)=A(x_1,...x_n)B(x_1,...,x_n)\), akkor persze \(\displaystyle P(x_1,...,x_n)=A(z^{-1}x_1,x_2,...,x_n)B(z^{-1}x_1,x_2,...,x_n)\).
Ezután tegyük fel, hogy két ilyen polinom egymást asszociáltja, azaz két különböző nem nulla \(\displaystyle z_1\) és \(\displaystyle z_2\) komplex számmal és egy alkalmas \(\displaystyle C\) komplex konstanssal \(\displaystyle P(z_1x_1,x_2,...,x_n)=CP(z_2x_1,x_2,...,x_n)\). Ekkor persze \(\displaystyle P(x_1,...,x_n)=CP(z_1^{-1}z_2x_1,x_2,...,x_n)\). Mivel \(\displaystyle P\) irreducibilis és nem konstans, szerepel benne olyan monom (azaz az együtthatója nem nulla), amely nem tartalmazza az \(\displaystyle x_1\) változót: mivel ez a monom ugyanaz a két polinomban, ezért \(\displaystyle C=1\). Ezután az \(\displaystyle x_1\)-et tartalmazó monomokat tekintve (ilyen van, mert a felesleges változókat a feladat elején elhagytuk a polinomból) azt kapjuk, hogy minden \(\displaystyle i>0\) esetén, amely lehet az \(\displaystyle x_1\) kitevője valamely \(\displaystyle P\)-ben szereplő monomban, \(\displaystyle (z_1^{-1}z_2)^i=0\). Ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle z_1^{-1}z_2\) egy (1-től különböző) komplex egységgyök, és ha ez egy \(\displaystyle m\)-ik primitív egységgyök, akkor \(\displaystyle m|i\) teljesül, vagyis \(\displaystyle P(x_1,...,x_n)=Q(x_1^m,x_2,...,x_n)\), amit a megoldás elején kizártunk. Tehát \(\displaystyle P_0P_1...P_{M-1}|P(x_1^M,...,x_n^M)\), és a fokszámok egyenlőség alapján a hányadosuk csak konstans lehet, azaz \(\displaystyle P(x_1^M,...,x_n^M)=CP_0P_1...P_{M-1}\) egy alkalmas \(\displaystyle C\) komplex konstanssal.
A fentieket a többi \(\displaystyle x_k\) változóval is eljátszhatjuk. Mivel a többváltozós, komplex együtthatós polinomok körében (is) igaz a számelmélet alaptétele, így az előző szorzótényezőket kell megkapnunk valamilyen sorrendben és alkalmas konstansokkal megszorozva. Tehát létezik olyan \(\displaystyle 0\le \ell_k\le M-1\) egész szám és \(\displaystyle C_k\) komplex konstans, melyre \(\displaystyle P(x_1,...,\varepsilon x_k,...,x_n)=C_kP(\varepsilon^{\ell_k}x_1,x_2,...,x_n)\). Egy nemnulla együtthatójú \(\displaystyle x_1^{i_1}...x_n^{i_n}\) monomot vizsgálva az \(\displaystyle \varepsilon^{i_k}-C_k\varepsilon^{{\ell_k}i_1}=0\) összefüggést kapjuk. Ezek szerint a \(\displaystyle C_k\) együttható a \(\displaystyle \varepsilon\) egész kitevős hatványa: \(\displaystyle C_k=\varepsilon^{m_k}\), és így \(\displaystyle i_k\equiv m_k+\ell_ki_1\) mod \(\displaystyle M\).
Most tekintsük azokat az \(\displaystyle (i_1,i_k)\) párokat, amelyek előfordulnak kitevőpárként a \(\displaystyle P\) nemnulla együtthatójú monomjaiban: a fentiek szerint ezekre a párokra teljesül, hogy \(\displaystyle i_k\equiv m_k+\ell_ki_1\) modulo \(\displaystyle M\), azaz ezek a pontok egy egyenesre esnek modulo \(\displaystyle M\). Most a következő lemma fog segíteni rajtunk:
Lemma: Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle (x_1,y_1)\)...., \(\displaystyle (x_m,y_m)\in \mathbb{Z}^2\) pontok egy egyenesre esnek modulo \(\displaystyle M\), ahol \(\displaystyle |x_i|,|y_i|\le K\) és \(\displaystyle M>6K^2\) teljesül. Akkor ezek a pontok \(\displaystyle \mathbb{Z}^2\)-ben is egy egyenesre esnek.
Bizonyítás: Az, hogy az \(\displaystyle (x_{1},y_{1})\), \(\displaystyle (x_2,y_2)\), \(\displaystyle (x_3,y_3)\) pontok egy egyenesre esnek \(\displaystyle \mathbb{Z}^2\), ekvivalens azzal, hogy
\(\displaystyle (x_2y_3-x_3y_2)+(x_3y_1-x_1y_3)+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \)
Mivel az összeg abszolút értéke legfeljebb \(\displaystyle 6K^2\) (hiszen mind a hat tag legfeljebb \(\displaystyle K^2\)), de osztható \(\displaystyle M\)-mel, ezért az összeg valóban 0.
A lemma alkalmazásához vegyük észre, hogy a \(\displaystyle P(x_1,...,x_n)|P(x_1^M,...,x_n^M)\) összefüggést iterálva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle P(x_1,...,x_n)|P(x_1^{M^t},...,x_n^{M^t})\), így \(\displaystyle t\)-t elég nagynak választva teljesülni fognak a lemma feltételei. Így tehát léteznek \(\displaystyle r_k,s_k\) racionális számok, melyekkel teljesül, hogy \(\displaystyle i_k=r_ki_1+s_k\) (vagy esetleg \(\displaystyle i_1\) konstans, de ekkor \(\displaystyle P\) nem lenne irreducibilis, mert \(\displaystyle x_1^{i_1}\) kiemelhető lenne) azokra az \(\displaystyle (i_1,i_k)\) kitevőpárokra, melyek előfordulnak \(\displaystyle P\) egy nem nulla monomjában. Ha \(\displaystyle r_k=a/b\), ahol ez már tovább nem egyszerűsíthető, akkor \(\displaystyle b|i_1\), ami a megoldás elején elmondottak miatt csak \(\displaystyle b=1\) esetén teljesül, azaz \(\displaystyle r_k,s_k\in \mathbb{Z}\). Így tehát a nemnulla monomok felírhatók \(\displaystyle (x_1x_2^{r_2}...x_n^{r_n})^{i_1}x_2^{s_2}...x_n^{s_n}\) alakban, ahol az \(\displaystyle s_k\) egész szám nem lehet negatív, mivel van olyan nemnulla monom, melyben \(\displaystyle i_1=0\), és az ehhez tartozó \(\displaystyle i_k\) kitevő egyenlő \(\displaystyle s_k\)-val.
Legyen most \(\displaystyle X=x_1x_2^{r_2}...x_n^{r_n}\) és \(\displaystyle C=x_2^{s_2}...x_n^{s_n}\). Ekkor formálisan átírhatjuk a \(\displaystyle P\) polinomot \(\displaystyle X\) polinomjakét \(\displaystyle C\sum c_iX^i\) alakba alkalmas \(\displaystyle c_i\) együtthatókkal. Ha most a \(\displaystyle \sum c_iX^i\) polinom legalább másodfokú, akkor az algebra alaptétele miatt reducibilis, hiszen felbomlik elsőfokú tényezők szorzatára. Ha a felbontás
\(\displaystyle D(X-d_1)(X-d_2)...(X-d_m) \)
(ahol \(\displaystyle m\) a polinom foka), akkor \(\displaystyle P\) felírható
\(\displaystyle Dx_2^{s_2}...x_n^{s_n}(x_1x_2^{r_2}...x_n^{r_n}-d_1)(x_1x_2^{r_2}...x_n^{r_n}-d_2)...(x_1x_2^{r_2}...x_n^{r_n}-d_m) \)
alakban. Tudjuk, hogy \(\displaystyle r_km+s_k\ge 0\), azaz \(\displaystyle s_k\ge -r_km\) vagyis \(\displaystyle s_k=r'_km+s'_k\), ahol \(\displaystyle r'_k\ge \max(-r_k,0)\) és \(\displaystyle s'_k\ge 0\) (itt felhasználtuk, hogy \(\displaystyle s_k\ge 0\)). Ekkor a fenti kifejezés átírható
\(\displaystyle Dx_2^{s'_2}...x_n^{s'_n}(x_1x_2^{r_2+r'_2}...x_n^{r_n+r'_n}-d_1x_2^{r'_2}...x_n^{r'_n})(x_1x_2^{r_2+r'_2}...x_n^{r_n+r'_n}-d_2x_2^{r'_2}...x_n^{r'_n})...(x_1x_2^{r_2+r'_2}...x_n^{r_n+r'_n}-d_mx_2^{r'_2}...x_n^{r'_n}) \)
alakba, ami ellentmond annak, hogy \(\displaystyle P\) irreducibilis. Tehát \(\displaystyle i_1\) csak 0 vagy 1 lehet (ez természetesen a többi ismeretlen kitevőjére ugyanígy levezethető), és ekkor \(\displaystyle P\) legfeljebb két tagból áll, de egytagú vagy konstans 0 nem lehet, mert legalább másodfokú (a legalább másodfokú, egy tagból álló polinomok nem irreducibilisek), azaz pontosan két tagja van, és ebben a két tagban minden \(\displaystyle x_i\) változó 0 vagy 1 kitevővel fordul elő. Az irreducibilitás miatt nem lehet, hogy egy ismeretlen mindkét tagban előforduljon, így (a változók esetleges átrendezésével) a polinom \(\displaystyle ax_1...x_i-bx_{i+1}x_{i+2}...x_n\) alakú. A feltétel szerint ennek osztania kell a \(\displaystyle ax_1^M...x_i^M-bx_{i+1}^M...x_n^M\) polinomot. Ha \(\displaystyle x_2=...x_n=1\)-et helyettesítünk, akkor az \(\displaystyle ax_1-b\) osztja a \(\displaystyle ax_1^M-b\) polinomot, azaz \(\displaystyle b/a\) gyöke az utóbbi polinomnak, vagyis \(\displaystyle a(b/a)^M-b=0\), ahonnan \(\displaystyle (b/a)^{M-1}=1\). Figyelembe véve a feladat elején elmondottakat a bizonyítást ezzel befejeztük.
Statisztika:
5 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai